| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
| 7.1 Einführung in Operatoren | ||
| 7.2 Arithmetische Operatoren | ||
| 7.3 Relationale Operatoren | ||
| 7.4 Logische Operatoren | ||
| 7.5 Operatoren für Gleichungen | ||
| 7.6 Zuweisungsoperatoren | ||
| 7.7 Nutzerdefinierte Operatoren |
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Maxima kennt die üblichen arithmetischen, relationalen und logischen
Operatoren der Mathematik. Weiterhin kennt Maxima Operatoren für die
Zuweisung von Werten an Variablen und die Definition von Funktionen. Die
folgende Tabelle zeigt die in diesem Kapitel beschriebenen Operatoren.
Angegeben sind der Name des Operators, der linksseitige Vorrang lbp und
der rechtsseitige Vorrang rbp, der Typ des Operators und ein Beispiel
einschließlich der internen Darstellung, wie sie vom Parser von der Eingabe
gelesen wird.
Operator lbp rbp Typ Beispiel
+ 100 134 nary a+b ((mplus) $A $B)
- 100 134 prefix -a ((mminus) $A)
* 120 nary a*b ((mtimes) $A $B)
/ 120 120 infix a/b ((mquotient) $A $B)
^ 140 139 infix a^b ((mexpt) $A $B)
** 140 139 infix a**b ((mexpt) $A $B)
^^ 140 139 infix a^^b ((mncexpt) $A $B)
. 130 129 infix a.b ((mnctimes) $A $B)
< 80 80 infix a<b ((mlessp) $A $B)
<= 80 80 infix a<=b ((mleqp) $A $B)
> 80 80 infix a>b ((mqreaterp) $A $B)
>= 80 80 infix a>=b ((mgeqp) $A $B)
not 70 prefix not a ((mnot) $A)
and 65 nary a and b ((mand) $A $B)
or 60 nary a or b ((mor) $A $B)
# 80 80 infix a#b ((mnotequal) $A $B)
= 80 80 infix a=b ((mequal) $A $B)
: 180 20 infix a:b ((msetq) $A $B)
:: 180 20 infix a::b ((mset) $A $B)
:= 180 20 infix a:=b ((mdefine) $A $B)
::= 180 20 infix a::=b ((mdefmacro) $A $B)
Mit dem Vorrang der Operatoren werden die bekannten Rechenregeln der einzelnen
Operatoren definiert. So wird zum Beispiel a + b * c vom Parser
als a + (b * c) interpretiert, da der linksseitige Vorrang der
Multiplikation größer als der linksseitige Vorrang der Addition ist.
Maxima unterscheidet die folgenden Operatoren:
Prefix-Operatoren sind unäre Operatoren, die einen Operanden haben, der dem
Operator nachfolgt. Beispiele sind die Operatoren -
und not.
Postfix-Operatoren sind unäre Operatoren, die einen Operanden haben, der dem
Operator vorangestellt ist. Ein Beispiel ist der Operator !
für die
Fakultät.
Infix-Operatoren, sind binäre Operatoren, die zwei Operanden haben. Der
Operator steht zwischen diesen Operanden. Hierzu zählen zum Beispiel der
Operator für die Exponentiation ^
oder der Operator für die Zuweisung
:.
N-ary-Operatoren fassen eine beliebige Anzahl an Operanden zu einem Ausdruck
zusammen. Hierzu zählen die Multiplikation *
oder die Addition
+.
Matchfix-Operatoren sind Begrenzungszeichen, die eine beliebige Anzahl an
Operanden einschließen. Ein Beispiel sind die Operatoren [
und
]
, die eine Liste [a, b, ...] definieren.
Ein Nofix-Operator ist ein Operator, der keinen Operanden hat. Maxima kennt
keinen internen Nofix-Operator. Zum Beispiel kann mit nofix(quit) ein
Nofix-Operator definiert werden. Dann ist es möglich, Maxima allein mit
quit anstatt dem Funktionsaufruf quit() zu beenden.
Maxima unterscheidet das Symbol eines Operators, wie zum Beispiel +
für die Addition, von dem Namen eines Operators, der eine Zeichenkette ist.
Der Additionsoperator hat den Namen "+". Mit dem Namen des Operators
kann der Operator als eine Funktion eingegeben werden. Im folgenden wird ein
Beispiel für den binären Infix-Operator der Exponentiation gezeigt:
(%i1) a^b;
b
(%o1) a
(%i2) "^"(a,b);
b
(%o2) a
Der Name des Operators kann immer dann verwendet werden, wenn eine
Funktion als Argument benötigt wird. Beispiele sind die Funktionen
map,
apply
oder auch die Substitution mit subst.
(%i3) apply("+", [a,b,c]);
(%o3) c + b + a
(%i4) map("^", [a,b,c],[1,2,3]);
2 3
(%o4) [a, b , c ]
(%i5) subst("*"="+", 10*a*b*c);
(%o5) c + b + a + 10
In Nutzerdefinierte Operatoren wird beschrieben, wie interne Maxima-Operatoren umdefiniert oder neue Operatoren definiert werden.
Die obige Tabelle enthält nicht alle von Maxima definierten Operatoren.
Weitere Operatoren sind zum Beispiel ! für die Fakultät, die
Operatoren for, do, while, um eine Programmschleife zu
programmieren, oder if, then, else, um eine Bedingung zu
definieren.
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Sind die Operatoren der Addition, Multiplikation, Division und Exponentiation.
Wird der Name eines Operators in einem Ausdruck benötigt, können die
Bezeichnungen "+", "*", "/" und "^" verwendet
werden.
In Ausdrücken wie (+a)*(-a) oder exp(-a) repräsentieren die
Operatoren + und - die unäre Addition und Negation. Die Namen
der Operatoren sind "+" und "-".
Die Subtraktion a - b wird von Maxima intern als Addition
a + (- b) dargestellt. In der Ausgabe wird der Ausdruck a + (- b)
als Subtraktion a - b angezeigt.
Die Division a / b wird von Maxima intern als Multiplikation
a * b^(- 1) dargestellt. In der Ausgabe wird der Ausdruck
a * b^(- 1) als Division a / b angezeigt. Der Name des Operators
für die Division ist "/".
Die Operatoren der Addition und Multiplikation sind kommutative N-ary-Operatoren. Die Operatoren der Division und Exponentiation sind nicht-kommutative binäre Operatoren.
Maxima sortiert die Operanden eines kommutativen Operators und konstruiert eine
kanonische Darstellung. Maxima unterscheidet die interne Sortierung von der
externen Sortierung für die Anzeige. Die interne Sortierung wird von der
Aussagefunktion orderlessp
bestimmt. Die externe Sortierung für die
Anzeige wird von der Aussagefunktion ordergreatp
festgelegt. Ausnahme
ist die Multiplikation. Für diese sind die interne und die externe
Sortierung identisch.
Arithmetische Rechnungen mit Zahlen (ganzen Zahlen, rationale Zahlen,
Gleitkommazahlen und großen Gleitkommazahlen) werden als eine Vereinfachung
und nicht als Auswertung ausgeführt. Mit Ausnahme der Exponentiation werden
alle arithmetischen Operationen mit Zahlen zu Zahlen vereinfacht.
Exponentiationen von Zahlen wie zum Beispiel (1/3)^(1/2) werden nicht
notwendigerweise zu Zahlen vereinfacht. In diesem Beispiel ist das Ergebnis
der Vereinfachung 1/sqrt(3).
Bei einer arithmetischen Rechnung kann es zur Umwandlung in Gleitkommazahlen kommen. Ist eines der Argumente eine große Gleitkommazahl, so ist auch das Ergebnis eine große Gleitkommazahl. Entsprechend ist das Ergebnis eine einfache Gleitkommazahl, sofern mindestens einer der Operanden eine einfache Gleitkommazahl ist. Treten nur ganze oder rationale Zahlen auf, ist das Ergebnis wieder eine ganze oder rationale Zahl.
Da arithmetische Rechnungen Vereinfachungen und keine Auswertungen sind, werden
arithmetische Rechnungen auch dann ausgeführt, wenn die Auswertung des
Ausdrucks zum Beispiel mit dem Quote-Operator
' unterdrückt
ist.
Arithmetische Operatoren werden elementweise auf Listen angewendet, wenn die
Optionsvariable listarith
den Wert true hat. Auf Matrizen werden
die arithmetischen Operatoren immer elementweise angewendet. Ist einer der
Operanden eine Liste oder Matrix und der andere Operand hat einen anderen
Typ, dann wird dieses Argument mit jedem Element der Liste oder Matrix
kombiniert.
Beispiele:
Addition und Multiplikation sind kommutative N-ary-Operatoren. Maxima sortiert
die Operanden und konstruiert eine kanonische Darstellung. Die Namen der
Operatoren sind "+" und "*".
(%i1) c + g + d + a + b + e + f;
(%o1) g + f + e + d + c + b + a
(%i2) [op (%), args (%)];
(%o2) [+, [g, f, e, d, c, b, a]]
(%i3) c * g * d * a * b * e * f;
(%o3) a b c d e f g
(%i4) [op (%), args (%)];
(%o4) [*, [a, b, c, d, e, f, g]]
(%i5) apply ("+", [a, 8, x, 2, 9, x, x, a]);
(%o5) 3 x + 2 a + 19
(%i6) apply ("*", [a, 8, x, 2, 9, x, x, a]);
2 3
(%o6) 144 a x
Division und Exponentiation sind nicht-kommutative binäre Operatoren. Die
Namen der Operatoren sind "/" und "^".
(%i1) [a / b, a ^ b];
a b
(%o1) [-, a ]
b
(%i2) [map (op, %), map (args, %)];
(%o2) [[/, ^], [[a, b], [a, b]]]
(%i3) [apply ("/", [a, b]), apply ("^", [a, b])];
a b
(%o3) [-, a ]
b
Subtraktion und Division werden intern als Addition und Multiplikation dargestellt.
(%i1) [inpart (a - b, 0), inpart (a - b, 1), inpart (a - b, 2)];
(%o1) [+, a, - b]
(%i2) [inpart (a / b, 0), inpart (a / b, 1), inpart (a / b, 2)];
1
(%o2) [*, a, -]
b
Sind die Operanden Zahlen, werden die Rechnungen ausgeführt. Ist einer der Operanden eine Gleitkommazahl, ist das Ergebnis ebenfalls eine Gleitkommazahl.
(%i1) 17 + b - (1/2)*29 + 11^(2/4);
5
(%o1) b + sqrt(11) + -
2
(%i2) [17 + 29, 17 + 29.0, 17 + 29b0];
(%o2) [46, 46.0, 4.6b1]
Arithmetische Rechnungen sind Vereinfachungen und keine Auswertung.
(%i1) simp : false;
(%o1) false
(%i2) '(17 + 29*11/7 - 5^3);
29 11 3
(%o2) 17 + ----- - 5
7
(%i3) simp : true;
(%o3) true
(%i4) '(17 + 29*11/7 - 5^3);
437
(%o4) - ---
7
Arithmetische Rechnungen werden elementweise für Listen und Matrizen
ausgeführt. Bei Listen wird dies mit der Optionsvariablen
listarith
kontrolliert.
(%i1) matrix ([a, x], [h, u]) - matrix ([1, 2], [3, 4]);
[ a - 1 x - 2 ]
(%o1) [ ]
[ h - 3 u - 4 ]
(%i2) 5 * matrix ([a, x], [h, u]);
[ 5 a 5 x ]
(%o2) [ ]
[ 5 h 5 u ]
(%i3) listarith : false;
(%o3) false
(%i4) [a, c, m, t] / [1, 7, 2, 9];
[a, c, m, t]
(%o4) ------------
[1, 7, 2, 9]
(%i5) [a, c, m, t] ^ x;
x
(%o5) [a, c, m, t]
(%i6) listarith : true;
(%o6) true
(%i7) [a, c, m, t] / [1, 7, 2, 9];
c m t
(%o7) [a, -, -, -]
7 2 9
(%i8) [a, c, m, t] ^ x;
x x x x
(%o8) [a , c , m , t ]
Ist eine alternative Schreibweise für den Operator ^ der
Exponentiation. In der Ausgabe wird entweder ^ angezeigt oder der
Exponent hochgestellt. Siehe den Operator der Exponentiation ^.
Die Funktion fortran
zeigt den Operator der Exponentiation immer als
** an, unabhängig davon, ob ** oder ^ eingegeben wird.
Beispiele:
(%i1) is (a**b = a^b);
(%o1) true
(%i2) x**y + x^z;
z y
(%o2) x + x
(%i3) string (x**y + x^z);
(%o3) x^z+x^y
(%i4) fortran (x**y + x^z);
x**z+x**y
(%o4) done
Ist der Operator der nicht-kommutativen Exponentiation von Matrizen. In der
linearen Ausgabe wird der nicht-kommutative Operator als ^^ angezeigt.
In der zweidimensionalen Ausgabe wird der hochgestellte Exponent von spitzen
Klammern < > eingeschlossen.
Beispiele:
(%i1) a . a . b . b . b + a * a * a * b * b;
3 2 <2> <3>
(%o1) a b + a . b
(%i2) string (a . a . b . b . b + a * a * a * b * b);
(%o2) a^3*b^2+a^^2 . b^^3
Ist der Operator der nicht-kommutativen Multiplikation von Matrizen. Siehe für Erläuterungen Nicht-kommutative Multiplikation.
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Die Symbole <, <=, >= und > sind die relationalen
Operatoren "kleiner als", "kleiner als oder gleich", "größer als oder
gleich" und "größer als". Die Namen dieser Operatoren sind jeweils:
"<", "<=", ">=" und ">". Diese können dort
eingesetzt werden, wo der Name des Operators benötigt wird.
Die relationalen Operatoren sind binäre Operatoren. Ausdrücke wie
a < b < c werden von Maxima nicht erkannt und generieren eine
Fehlermeldung.
Relationale Ausdrücke werden von den Funktionen is
und
maybe
sowie den Funktionen if,
while
und
unless
zu booleschen Werten ausgewertet. Relationale Ausdrücke werden
ansonsten nicht zu booleschen Werten ausgewertet oder vereinfacht. Jedoch
werden die Operanden eines booleschen Ausdruckes ausgewertet, wenn die
Auswertung nicht mit dem Quote-Operator
' unterdrückt ist.
Wenn ein relationaler Ausdruck mit den Funktionen is oder if nicht
zu true oder false ausgewertet werden kann, wird das Verhalten der
Funktionen von der Optionsvariablen prederror
kontrolliert. Hat
prederror den Wert true, wird von is und if ein
Fehler erzeugt. Hat prederror den Wert false, hat is den
Rückgabewert unknown und if gibt einen konditionalen Ausdruck
zurück, der teilweise ausgewertet ist.
Die Funktion maybe verhält sich immer so, als ob prederror den
Wert false hat, und die Schleifenanweisungen while sowie
unless verhalten sich immer so, als ob prederror den Wert
true hat.
Relationale Operatoren werden nicht auf die Elemente von Listen oder Matrizen sowie auf die beiden Seiten einer Gleichung angewendet.
Siehe auch die Operatoren =
und #
sowie die Funktionen
equal
und notequal.
Beispiele:
Relationale Ausdrücke werden von einigen Funktionen zu booleschen Werten ausgewertet.
(%i1) [x, y, z] : [123, 456, 789];
(%o1) [123, 456, 789]
(%i2) is (x < y);
(%o2) true
(%i3) maybe (y > z);
(%o3) false
(%i4) if x >= z then 1 else 0;
(%o4) 0
(%i5) block ([S], S : 0, for i:1 while i <= 100 do S : S + i,
return (S));
(%o5) 5050
Relationale Ausdrücke werden ansonsten nicht zu booleschen Werten ausgewertet oder vereinfacht, jedoch werden die Operanden eines relationalen Ausdruckes ausgewertet.
(%i1) [x, y, z] : [123, 456, 789]; (%o1) [123, 456, 789] (%i2) [x < y, y <= z, z >= y, y > z]; (%o2) [123 < 456, 456 <= 789, 789 >= 456, 456 > 789] (%i3) map (is, %); (%o3) [true, true, true, false]
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Ist der logische Operator der Konjunktion. and ist ein
N-ary-Operator. Die Operanden sind boolesche Ausdrücke und das Ergebnis ist
ein boolescher Wert.
Der Operator and erzwingt die Auswertung aller oder einen Teil der
Operanden. Die Operanden werden in der Reihenfolge ausgewertet, in der sie
auftreten. and wertet nur so viele Operanden aus, wie nötig sind, um
das Ergebnis des Ausdrucks zu bestimmen. Hat irgendein Argument den Wert
false, ist das Ergebnis false und die weiteren Argumente werden
nicht ausgewertet.
Die Optionsvariable prederror
kontrolliert das Verhalten von and
für den Fall, dass ein Operand nicht zu true oder false
ausgewertet werden kann. and gibt eine Fehlermeldung aus, wenn
prederror den Wert true hat. Andernfalls werden Operanden
akzeptiert, die nicht zu true oder false ausgewertet werden
können und das Ergebnis ist ein boolescher Ausdruck.
and ist nicht kommutativ, da aufgrund von nicht ausgewerteten Operanden
die Ausdrücke a and b und b and a ein unterschiedliches Ergebnis
haben können.
Beispiele:
(%i1) n:2; (%o1) 2 (%i2) integerp(n) and evenp(n); (%o2) true (%i3) not(a=b) and 1=1 and integerp(2); (%o3) true (%i4) not(a=b) and 1=1 and oddp(2); (%o4) false (%i5) a and b; (%o5) a and b (%i6) prederror:true$ (%i7) a and b; Unable to evaluate predicate a -- an error. To debug this try: debugmode(true);
Da and nur so viele Operanden auswertet wie notwendig sind, um das
Ergebnis festzustellen, führt der syntaktische Fehler im zweiten Operanden
nicht zu einer Fehlermeldung, das das Ergebnis bereits mit dem ersten
Operanden feststeht.
(%i8) a=b and sin(2,2); (%o8) false
Ist der logische Operator der Disjunktion. or ist ein N-ary-Operator.
Die Operanden sind boolesche Ausdrücke und das Ergebnis ist ein boolescher
Wert.
Der Operator or erzwingt die Auswertung aller oder einen Teil der
Operanden. Die Operanden werden in der Reihenfolge ausgewertet, in der sie
auftreten. or wertet nur so viele Operanden aus wie nötig sind, um
das Ergebnis des Ausdrucks zu bestimmen. Hat irgendein Operand den Wert
true, ist das Ergebnis true und die weiteren Operanden werden
nicht ausgewertet.
Die Optionsvariable prederror
kontrolliert das Verhalten von or
für den Fall, dass ein Operand nicht zu true oder false
ausgewertet werden kann. or gibt eine Fehlermeldung, wenn
prederror den Wert true hat. Andernfalls werden Operanden
akzeptiert, die nicht zu true oder false ausgewertet werden
können und das Ergebnis ist ein boolescher Ausdruck.
or ist nicht kommutativ, da aufgrund von nicht ausgewerteten Operanden
die Ausdrücke a or b und b or a ein unterschiedliches Ergebnis
haben können.
Beispiele:
(%i1) n:2; (%o1) 2 (%i2) oddp(n) or evenp(n); (%o2) true (%i3) a=b or not(1=1) or integerp(2); (%o3) true (%i4) a or b; (%o4) a or b (%i5) prederror:true$ (%i6) a or b; Unable to evaluate predicate a -- an error. To debug this try: debugmode(true);
Da or nur so viele Operanden auswertet wie notwendig sind, um das
Ergebnis festzustellen, führt der syntaktische Fehler im zweiten Operanden
nicht zu einer Fehlermeldung, da das Ergebnis bereits mit dem ersten
Operanden feststeht.
(%i7) integerp(2) or sin(2,2); (%o7) true
Ist die logische Negation. not ist ein Prefix-Operator. Der Operand
ist ein boolescher Ausdruck und das Ergebnis ein boolescher Wert.
Der Operator not erzwingt die Auswertung des Operanden. Die
Optionsvariable prederror
kontrolliert das Verhalten von not für
den Fall, dass der Operand nicht zu true oder false ausgewertet
werden kann. not gibt eine Fehlermeldung, wenn prederror den Wert
true hat. Andernfalls wird ein Operand akzeptiert, der nicht zu
true oder false ausgewertet werden kann, und das Ergebnis ist ein
boolescher Ausdruck.
Beispiele:
(%i1) not integerp(2); (%o1) false (%i2) not (a=b); (%o2) true (%i3) not a; (%o3) not a (%i4) prederror:true$ (%i5) not a; Unable to evaluate predicate a -- an error. To debug this try: debugmode(true);
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Ist der Operator für eine Ungleichung. # ist ein Infix-Operator mit
zwei Operanden.
Mit dem Operator # wird eine Ungleichung a # b formuliert, wobei
die Operanden a und b jeweils die linke und die rechte Seite der
Ungleichung sind und beliebige Ausdrücke sein können. Die Operanden werden
ausgewertet, nicht jedoch die Ungleichung selbst.
Die Funktionen is,
maybe,
die logischen Operatoren
and,
or
und not
sowie die Funktionen für die
Definition von Programmanweisungen wie if,
while
oder
unless
erzwingen die Auswertung einer Ungleichung.
Wegen der Regeln für die Auswertung von Aussagen und weil not expr die
Auswertung des Argumentes expr bewirkt, ist der Ausdruck
not (a = b) äquivalent zu is(a # b) und nicht zu a # b.
Die Funktionen rhs
und lhs
geben die rechte und die linke Seite
einer Gleichung oder Ungleichung zurück.
Siehe auch den Operator =,
um eine Gleichung zu formulieren, sowie
die Funktionen equal
und notequal.
Beispiele:
(%i1) a = b; (%o1) a = b (%i2) is (a = b); (%o2) false (%i3) a # b; (%o3) a # b (%i4) not (a = b); (%o4) true (%i5) is (a # b); (%o5) true (%i6) is (not (a = b)); (%o6) true
Ist der Operator für eine Gleichung. = ist ein Infix-Operator mit
zwei Operanden.
Mit dem Operator = wird eine Gleichung a = b formuliert, wobei die
Operanden a und b jeweils die linke und die rechte Seite der
Gleichung sind und beliebige Ausdrücke sein können. Die Operanden werden
ausgewertet, nicht jedoch die Gleichung selbst. Nicht ausgewertete Gleichungen
können als Argument von Funktionen wie zum Beispiel den Funktionen
solve,
algsys
oder ev
auftreten.
Die Funktion is
wertet eine Gleichung = zu einem booleschen Wert
aus. is(a = b) wertet die Gleichung a = b zum Wert true
aus, wenn a und b identische Ausdrücke sind. Das trifft zu,
wenn a und b identische Atome sind oder wenn ihre Operatoren sowie
die Operanden identisch sind. In jedem anderen Fall ist das Ergebnis
false. Das Ergebnis der Auswertung ist nie unkown. Hat
is(a = b) das Ergebnis true, werden a und b als
syntaktisch gleich bezeichnet. Im Unterschied dazu gilt für äquivalente
Ausdrücke, dass is(equal(a, b)) den Wert true hat. Ausdrücke
können äquivalent aber syntaktisch verschieden sein.
Eine Ungleichung wird mit dem Operator #
formuliert. Wie für den
Operator = für eine Gleichung wird eine Ungleichung a # b nicht
ausgewertet. Eine Auswertung erfolgt mit is(a # b), welche die Werte
true oder false als Ergebnis hat.
Neben is werten auch die Operatoren if,
and,
or
und not
Gleichungen mit dem Operator = oder
Ungleichungen mit dem Operator # zu den Werten true oder
false aus.
Wegen der Regeln für die Auswertung von Aussagen und weil im Ausdruck
not expr der Operand expr ausgewertet wird, ist
not a = b äquivalent zu is(a # b) und nicht zu a # b.
Die Funktionen rhs
und lhs
geben die rechte und die linke Seite
einer Gleichung oder Ungleichung zurück.
Siehe auch den Operator #
für Ungleichungen sowie die Funktionen
equal
und notequal.
Beispiele:
Ein Ausdruck a = b repräsentiert eine nicht ausgewertete Gleichung.
(%i1) eq_1 : a * x - 5 * y = 17;
(%o1) a x - 5 y = 17
(%i2) eq_2 : b * x + 3 * y = 29;
(%o2) 3 y + b x = 29
(%i3) solve ([eq_1, eq_2], [x, y]);
196 29 a - 17 b
(%o3) [[x = ---------, y = -----------]]
5 b + 3 a 5 b + 3 a
(%i4) subst (%, [eq_1, eq_2]);
196 a 5 (29 a - 17 b)
(%o4) [--------- - --------------- = 17,
5 b + 3 a 5 b + 3 a
196 b 3 (29 a - 17 b)
--------- + --------------- = 29]
5 b + 3 a 5 b + 3 a
(%i5) ratsimp (%);
(%o5) [17 = 17, 29 = 29]
is(a = b) wertet die Gleichung a = b zu true aus, wenn
a und b syntaktisch gleich sind. Ausdrücke können
äquivalent sein, ohne syntaktisch gleich zu sein.
(%i1) a : (x + 1) * (x - 1);
(%o1) (x - 1) (x + 1)
(%i2) b : x^2 - 1;
2
(%o2) x - 1
(%i3) [is (a = b), is (a # b)];
(%o3) [false, true]
(%i4) [is (equal (a, b)), is (notequal (a, b))];
(%o4) [true, false]
Einige Operatoren werten = und # zu true oder false
aus.
(%i1) if expand ((x + y)^2) = x^2 + 2 * x * y + y^2 then FOO else
BAR;
(%o1) FOO
(%i2) eq_3 : 2 * x = 3 * x;
(%o2) 2 x = 3 x
(%i3) eq_4 : exp (2) = %e^2;
2 2
(%o3) %e = %e
(%i4) [eq_3 and eq_4, eq_3 or eq_4, not eq_3];
(%o4) [false, true, true]
Da not expr die Auswertung des Ausdrucks expr bewirkt, ist
not (a = b) äquivalent zu is(a # b).
(%i1) [2 * x # 3 * x, not (2 * x = 3 * x)]; (%o1) [2 x # 3 x, true] (%i2) is (2 * x # 3 * x); (%o2) true
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Ist der Operator für die Zuweisung eines Wertes an eine Variable.
Ist die linke Seite eine Variable (ohne Index), wertet der Operator : die
rechte Seite aus und weist den Wert der Variablen auf der linken Seite zu.
Ist die linke Seite ein Element einer Liste, Matrix oder ein deklariertes Maxima- oder Lisp-Array, wird die rechte Seite diesem Element zugewiesen. Der Index muss ein existierendes Element bezeichnen.
Ist die linke Seite ein Element eines nicht deklarierten Arrays, dann wird die rechte Seite diesem Element zugewiesen, falls dieses existiert. Existiert das Element noch nicht, wird ein neues Element erzeugt.
Ist die linke Seite eine Liste mit Variablen (ohne Index), muss die rechte Seite zu einer Liste auswerten. Die Elemente der Liste auf der rechten Seite werden den Elementen auf der linken Seite parallel zugewiesen.
Siehe auch kill
und remvalue
für die Aufhebung der Zuweisung
eines Wertes an ein Symbol.
Beispiele:
Zuweisung an eine einfache Variable.
(%i1) a; (%o1) a (%i2) a : 123; (%o2) 123 (%i3) a; (%o3) 123
Zuweisung an ein Element einer Liste.
(%i1) b : [1, 2, 3]; (%o1) [1, 2, 3] (%i2) b[3] : 456; (%o2) 456 (%i3) b; (%o3) [1, 2, 456]
Die Zuweisung erzeugt ein nicht deklariertes Array.
(%i1) c[99] : 789; (%o1) 789 (%i2) c[99]; (%o2) 789 (%i3) c; (%o3) c (%i4) arrayinfo (c); (%o4) [hashed, 1, [99]] (%i5) listarray (c); (%o5) [789]
Mehrfache Zuweisung.
(%i1) [a, b, c] : [45, 67, 89]; (%o1) [45, 67, 89] (%i2) a; (%o2) 45 (%i3) b; (%o3) 67 (%i4) c; (%o4) 89
Die mehrfache Zuweisung wird parallel ausgeführt. Die Werte von a und
b werden in diesem Beispiel ausgetauscht.
(%i1) [a, b] : [33, 55]; (%o1) [33, 55] (%i2) [a, b] : [b, a]; (%o2) [55, 33] (%i3) a; (%o3) 55 (%i4) b; (%o4) 33
Ist der Operator für die Zuweisung eines Wertes an eine Variable.
Der Operator :: ist vergleichbar mit dem Operator :
mit dem
Unterschied, dass :: sowohl die rechte als auch die linke Seite
auswertet.
Beispiele:
(%i1) x : 'foo; (%o1) foo (%i2) x :: 123; (%o2) 123 (%i3) foo; (%o3) 123 (%i4) x : '[a, b, c]; (%o4) [a, b, c] (%i5) x :: [11, 22, 33]; (%o5) [11, 22, 33] (%i6) a; (%o6) 11 (%i7) b; (%o7) 22 (%i8) c; (%o8) 33
Ist der Operator für die Definition von Makro-Funktionen.
Der Operator ::= definiert eine Makro-Funktion, das ist eine Funktion,
die ihre Argumente nicht auswertet. Der Ausdruck, der die Makro-Funktion
definiert, wird in dem Kontext ausgewertet, in dem das Makro aufgerufen wird.
Ansonsten verhält sich eine Makro-Funktion wie eine gewöhnliche Funktion.
Die Funktion macroexpand
expandiert eine Makro-Funktion, ohne sie
auszuwerten. macroexpand(foo(x)) dem ''% folgt, ist äquivalent
zu foo(x), wenn foo eine Makro-Funktion ist.
Der Operator ::= fügt den Namen der neuen Makro-Funktion der
Informationsliste macros
hinzu. Die Funktionen kill,
remove
und remfunction
heben die Zuweisung der Makro-Funktion an
ein Symbol auf und entfernen die Makro-Funktion von der Informationsliste
macros.
Die Funktionen fundef
oder dispfun
geben die Definition einer
Makro-Funktion zurück oder weisen die Makro-Funktion einer Marke zu.
Makro-Funktionen enthalten häufig Ausdrücke mit den Funktionen
buildq
und splice.
Mit diesen werden Ausdrücke konstruiert,
die dann ausgewertet werden.
Beispiele:
Eine Makro-Funktion wertet ihre Argumente nicht aus. Daher zeigt Beispiel (1)
y - z und nicht den Wert von y - z. Das Makro wird in
dem Kontext ausgewertet, in dem das Makro aufgerufen wird. Dies zeigt (2).
(%i1) x: %pi$
(%i2) y: 1234$
(%i3) z: 1729 * w$
(%i4) printq1 (x) ::= block (print ("(1) x is equal to", x),
'(print ("(2) x is equal to", x)))$
(%i5) printq1 (y - z);
(1) x is equal to y - z
(2) x is equal to %pi
(%o5) %pi
Eine gewöhnliche Funktion wertet ihre Argumente aus. Daher zeigt (1) den Wert
von y - z. Der Rückgabewert wird nicht ausgewertet und gibt (2). Mit
''% wird die Auswertung erzwungen.
(%i1) x: %pi$
(%i2) y: 1234$
(%i3) z: 1729 * w$
(%i4) printe1 (x) := block (print ("(1) x is equal to", x),
'(print ("(2) x is equal to", x)))$
(%i5) printe1 (y - z);
(1) x is equal to 1234 - 1729 w
(%o5) print((2) x is equal to, x)
(%i6) ''%;
(2) x is equal to %pi
(%o6) %pi
macroexpand
gibt die Expansion des Makros zurück.
macroexpand(foo(x)) dem ''% folgt, ist äquivalent zu
foo(x), wenn foo eine Makro-Funktion ist.
(%i1) x: %pi$
(%i2) y: 1234$
(%i3) z: 1729 * w$
(%i4) g (x) ::= buildq ([x], print ("x is equal to", x))$
(%i5) macroexpand (g (y - z));
(%o5) print(x is equal to, y - z)
(%i6) ''%;
x is equal to 1234 - 1729 w
(%o6) 1234 - 1729 w
(%i7) g (y - z);
x is equal to 1234 - 1729 w
(%o7) 1234 - 1729 w
Ist der Operator für Funktionsdefinitionen.
f(x_1, ..., x_n) := expr definiert eine Funktion
mit dem Namen f, den Argumenten x_1, …, x_n und der
Funktionsdefinition expr. Der Operator := wertet die
Funktionsdefinition nicht aus. Die Auswertung kann mit dem
Quote-Quote-Operator
'' erzwungen werden. Die definierte
Funktion kann eine gewöhnliche Maxima-Funktion f(x) sein oder eine
Array-Funktion f[i](x).
Ist das letzte oder das einzige Argument der Funktion x_n eine Liste mit
einem Element, dann akzeptiert die mit := definierte Funktion eine
variable Anzahl an Argumenten. Die Argumente werden zunächst nacheinander den
Argumenten x_1, …, x_(n - 1) zugewiesen. Sind weitere
Argumente vorhanden, werden diese x_n als Liste zugewiesen.
Funktionsdefinitionen erscheinen im globalen Namensraum. Wird eine Funktion
f innerhalb einer Funktion g definiert, wird die Reichweite der
Funktion nicht automatisch auf g beschränkt. Dagegen führt
local(f) zu einer Definition, die nur innerhalb eines Blockes oder einem
anderen zusammengesetzten Ausdrück erscheint. Siehe auch local.
Ist eines der Argumente ein Symbol auf das der Quote-Operator
' angewendet wurde, wird dieses Argument nicht ausgewertet. Ansonsten
werden alle Argumente ausgewertet.
Beispiele:
:= wertet die Funktionsdefinition nie aus, außer wenn der
Quote-Quote-Operator angewendet wird.
(%i1) expr : cos(y) - sin(x); (%o1) cos(y) - sin(x) (%i2) F1 (x, y) := expr; (%o2) F1(x, y) := expr (%i3) F1 (a, b); (%o3) cos(y) - sin(x) (%i4) F2 (x, y) := ''expr; (%o4) F2(x, y) := cos(y) - sin(x) (%i5) F2 (a, b); (%o5) cos(b) - sin(a)
Mit dem Operator := definierte Funktionen können eine gewöhnliche
Maxima-Funktion oder eine Array-Funktion sein.
(%i1) G1 (x, y) := x.y - y.x;
(%o1) G1(x, y) := x . y - y . x
(%i2) G2 [x, y] := x.y - y.x;
(%o2) G2 := x . y - y . x
x, y
Ist das letzte oder einzige Argument x_n eine Liste mit einem Element, dann akzeptiert die Funktion eine variable Anzahl an Argumenten.
(%i1) H ([L]) := apply ("+", L);
(%o1) H([L]) := apply("+", L)
(%i2) H (a, b, c);
(%o2) c + b + a
local
erzeugt eine lokale Funktionsdefinition.
(%i1) foo (x) := 1 - x; (%o1) foo(x) := 1 - x (%i2) foo (100); (%o2) - 99 (%i3) block (local (foo), foo (x) := 2 * x, foo (100)); (%o3) 200 (%i4) foo (100); (%o4) - 99
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
| 7.7.1 Einführung in nutzerdefinierte Operatoren | ||
| 7.7.2 Funktionen und Variablen für nutzerdefinierte Operatoren |
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Es ist möglich neue Operatoren zu definieren, vorhandene Operatoren zu entfernen oder deren Eigenschaften zu ändern. Jede Funktion kann als ein Operator definiert werden, die Funktion kann, muss aber nicht definiert sein.
Im Folgenden werden die Operatoren dd und "<-" definiert. Nach
der Definition als Operatoren ist dd a gleichbedeutend mit "dd"(a)
und a <- b entspricht dem Funktionsaufruf "<-"(a,b). In diesem
Beispiel sind die Funktionen "dd" und "<-" nicht definiert.
(%i1) prefix ("dd");
(%o1) dd
(%i2) dd a;
(%o2) dd a
(%i3) "dd" (a);
(%o3) dd a
(%i4) infix ("<-");
(%o4) <-
(%i5) a <- dd b;
(%o5) a <- dd b
(%i6) "<-" (a, "dd" (b));
(%o6) a <- dd b
Maxima kennt die folgenden Funktionen, um Operatoren zu definieren:
prefix, postfix, infix, nary, matchfix und
nofix.
Der Vorrang eines Operators op vor anderen Operatoren leitet sich aus dem links- und rechtsseitigen Vorrang des Operators ab. Sind die links- und rechtsseitigen Vorränge von op beide größer als der links- und rechtsseitige Vorrang eines anderen Operators, dann hat op Vorrang vor diesem Operator. Sind die Vorränge nicht beide größer oder kleiner, werden weitere Regeln zur Bestimmung des Vorrangs herangezogen.
Maxima kennt die Wortart eines Operanden und des Ergebnisses eines Operanden.
Wortart bedeutet hier, den Typ eines Operanden. Maxima kennt die drei Typen
expr, clause und any. Diese stehen für einen
algebraischen Ausdruck, einen logischen Ausdruck und einen beliebigen Ausdruck.
Mit Hilfe der für einen Operator definierten Wortart kann der Parser beim
Einlesen eines Ausdrucks Syntaxfehler feststellen.
Die Assoziativität eines Operators op hängt ab von seinem Vorrang. Ein größerer linksseitiger Vorrang hat zur Folge, dass der Operator op vor einem anderen Operator auf seiner linken Seite ausgewertet wird. Während ein größerer rechtsseitiger Vorrang zur Folge hat, dass der Operator vor anderen Operatoren auf der rechten Seite ausgewertet wird. Daraus folgt, dass ein größerer linksseitiger Vorrang lbp einen Operator op rechts-assoziativ und eine größerer rechtsseitiger Vorrang rbp den Operator links-assoziativ macht. Sind der links- und rechtsseitige Vorrang gleich groß, ist der Operator op links-assoziativ.
Mit den Befehlen remove
und kill
können Operatoreigenschaften
von einem Symbol entfernt werden. remove("a", op) entfernt
die Operatoreigenschaften des Symbols a. kill("a") entfernt
alle Eigenschaften einschließich der Operator-Eigenschaften des Symbols
a. In diesem Fall steht der Name des Symbols in Anführungszeichen.
(%i1) infix ("##");
(%o1) ##
(%i2) "##" (a, b) := a^b;
b
(%o2) a ## b := a
(%i3) 5 ## 3;
(%o3) 125
(%i4) remove ("##", op);
(%o4) done
(%i5) 5 ## 3;
Incorrect syntax: # is not a prefix operator
5 ##
^
(%i5) "##" (5, 3);
(%o5) 125
(%i6) infix ("##");
(%o6) ##
(%i7) 5 ## 3;
(%o7) 125
(%i8) kill ("##");
(%o8) done
(%i9) 5 ## 3;
Incorrect syntax: # is not a prefix operator
5 ##
^
(%i9) "##" (5, 3);
(%o9) ##(5, 3)
| [ < ] | [ > ] | [ << ] | [ Up ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
Deklariert op als einen Infix-Operator. Ein Infix-Operator hat eine
Funktionsdefinition mit zwei Argumenten. Der Infix-Operator steht zwischen den
Operanden. Zum Beispiel ist die Subtraktion -
ein Infix-Operator.
infix(op) deklariert op als einen Infix-Operator mit einem
links- und rechtsseitigen Vorrang von jeweils 180.
infix(op, lbp, rbp) deklariert op als einen
Infix-Operator mit den angegebenen Werten für den links- und rechtsseitigen
Vorrang.
infix(op, lbp, rbp, lpos, rpos, pos)
deklariert op als einen Infix-Operator mit den angegebenen
Vorrängen sowie den Wortarten lpos, rpos und pos für
den linken und den rechten Operanden sowie das Ergebnis des Operators.
Beispiele:
Sind die rechtsseitigen und linksseitigen Vorränge eines Operators op größer als die entsprechenden Vorränge eines anderen Operators, dann hat der Operator op Vorrang.
(%i1) :lisp (get '$+ 'lbp)
100
(%i1) :lisp (get '$+ 'rbp)
100
(%i1) infix ("##", 101, 101);
(%o1) ##
(%i2) "##"(a, b) := sconcat("(", a, ",", b, ")");
(%o2) (a ## b) := sconcat("(", a, ",", b, ")")
(%i3) 1 + a ## b + 2;
(%o3) (a,b) + 3
(%i4) infix ("##", 99, 99);
(%o4) ##
(%i5) 1 + a ## b + 2;
(%o5) (a+1,b+2)
Ein größerer linksseitige Vorrang lbp bewirkt, dass der Operator op rechts-assoziativ ist. Ein größerer rechtsseitiger Vorrang macht dagegen den Operator op links-assoziativ.
(%i1) infix ("##", 100, 99);
(%o1) ##
(%i2) "##"(a, b) := sconcat("(", a, ",", b, ")")$
(%i3) foo ## bar ## baz;
(%o3) (foo,(bar,baz))
(%i4) infix ("##", 100, 101);
(%o4) ##
(%i5) foo ## bar ## baz;
(%o5) ((foo,bar),baz)
Maxima kann Syntaxfehler beim Einlesen eines Ausdrucks feststellen, wenn der eingelesene Operand nicht die für den Operator definierte Wortart hat.
(%i1) infix ("##", 100, 99, expr, expr, expr);
(%o1) ##
(%i2) if x ## y then 1 else 0;
Incorrect syntax: Found algebraic expression where
logical expression expected
if x ## y then
^
(%i2) infix ("##", 100, 99, expr, expr, clause);
(%o2) ##
(%i3) if x ## y then 1 else 0;
(%o3) if x ## y then 1 else 0
Deklariert einen Matchfix-Operator mit dem linksseitigen Begrenzungszeichen ldelimiter und dem rechtsseitigen Begrenzungszeichen rdelimiter.
Ein Matchfix-Operator hat eine beliebige Anzahl an Argumenten, die zwischen
dem linksseitigen und dem rechtsseitigen Begrenzungszeichen stehen. Das
Begrenzungszeichen kann eine beliebige Zeichenkette sein. Einige Zeichen wie
%, ,, $ und ; können nicht als Begrenzungszeichen
definiert werden.
Ein linksseitiges Begrenzungszeichen kann nicht verschiedene rechtsseitige Begrenzungszeichen haben.
Maxima-Operatoren können als Matchfix-Operatoren definiert werden, ohne
dass sich die sonstigen Operatoreigenschaften ändern. So kann zum Beispiel
der Operator + als Matchfix-Operator definiert werden.
matchfix(ldelimiter, rdelimiter, arg_pos, pos)
definiert die Wortarten für die Argumente arg_pos und das Ergebnis
pos sowie das linksseitige ldelimiter und rechtsseitige
rdelimiter Begrenzungszeichen.
Die zu einem Matchfix-Operator zugehörige Funktion kann jede
nutzerdefinierte Funktion sein, die mit :=
oder define
definiert
wird. Die Definition der Funktion kann mit dispfun(ldelimiter)
ausgegeben werden.
Maxima kennt nur den Operator für Listen [ ] als Matchfix-Operator.
Klammern ( ) und Anführungszeichen " " arbeiten wie
Matchfix-Operatoren, werden aber vom Parser nicht als Matchfix-Operatoren
behandelt.
matchfix
wertet die Argumente aus. matchfix gibt das erste
Argument ldelimiter als Ergebnis zurück.
Beispiele:
Begrenzungszeichen können eine beliebige Zeichenkette sein.
(%i1) matchfix ("@@", "~");
(%o1) @@
(%i2) @@ a, b, c ~;
(%o2) @@a, b, c~
(%i3) matchfix (">>", "<<");
(%o3) >>
(%i4) >> a, b, c <<;
(%o4) >>a, b, c<<
(%i5) matchfix ("foo", "oof");
(%o5) foo
(%i6) foo a, b, c oof;
(%o6) fooa, b, coof
(%i7) >> w + foo x, y oof + z << / @@ p, q ~;
>>z + foox, yoof + w<<
(%o7) ----------------------
@@p, q~
Matchfix-Operatoren können für nutzerdefinierte Funktionen definiert werden.
(%i1) matchfix ("!-", "-!");
(%o1) "!-"
(%i2) !- x, y -! := x/y - y/x;
x y
(%o2) !-x, y-! := - - -
y x
(%i3) define (!-x, y-!, x/y - y/x);
x y
(%o3) !-x, y-! := - - -
y x
(%i4) define ("!-" (x, y), x/y - y/x);
x y
(%o4) !-x, y-! := - - -
y x
(%i5) dispfun ("!-");
x y
(%t5) !-x, y-! := - - -
y x
(%o5) done
(%i6) !-3, 5-!;
16
(%o6) - --
15
(%i7) "!-" (3, 5);
16
(%o7) - --
15
nary(op) definiert einen N-ary-Operator op mit einem
linksseitigen Vorrang von 180. Der rechtsseitige Vorrang wird nicht benötigt.
nary(op, bp, arg_pos, pos) definiert einen
N-ary-Operator op mit einem rechtsseitigen Vorrang von bp und
der Wortart arg_pos für den Operanden und der Wortart pos für das
Ergebnis.
Ein N-ary-Operator ist ein Operator, der eine beliebige Anzahl an
Argumenten haben kann. Die Argumente werden durch den Operator voneinander
getrennt, so ist zum Beispiel + ein N-ary-Operator und
A+B+C.
Im Unterschied zur Definition eines Operators kann eine Funktion f auch
als nary
mit der Funktion declare
deklariert werden. Die
Deklaration hat Auswirkung auf die Vereinfachung der Funktion. Zum Beispiel
wird ein Ausdruck j(j(a,b),j(c,d) zu j(a,b,c,d) vereinfacht.
nofix(op) definiert den Operator op als einen Nofix-Operator.
nofix(op, pos) definiert einen Nofix-Operator mit der
Wortart pos für das Ergebnis.
Nofix-Operatoren sind Operatoren, die kein Argument haben. Tritt ein solcher
Operator allein auf, wird die dazugehörige Funktion ausgewertet. Zum Beispiel
beendet die Funktion quit() eine Maxima-Sitzung. Wird diese Funktion
mit nofix("quit") als ein Nofix-Operator definiert, genügt die
Eingabe von quit, um eine Maxima-Sitzung zu beenden.
postfix (op) definiert einen Postfix-Operator op.
postfix (op, lbp, lpos, pos) definiert einen
Postfix-Operator op mit einem linksseitigem Vorrang von lbp sowie
den Wortarten lpos für den Operanden und pos für das Ergebnis.
Ein Postfix-Operator hat einen Operanden, der dem Operator vorangestellt ist.
Ein Beispiel ist der !-Operator mit 3!. Die Funktion
postfix("x") erweitert die Maxima-Syntax um den Postfix-Operator
x.
prefix (op) definiert einen Prefix-Operator op.
prefix (op, lbp, lpos, pos) definiert einen
Prefix-Operator op mit einem rechtsseitigem Vorrang von rbp sowie
den Wortarten rpos für den Operanden und pos für das Ergebnis.
Ein Prefix-Operator hat einen Operanden, der dem Operator nachfolgt. Mit
prefix("x") wird die Maxima-Syntax um einen Prefix-Operator x
erweitert.
| [ << ] | [ >> ] | [Top] | [Contents] | [Index] | [ ? ] |
This document was generated by Crategus on Dezember, 12 2012 using texi2html 1.76.