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| 16.1 Funktionen und Variablen für Grenzwerte | ||
| 16.2 Funktionen und Variablen der Differentiation | ||
| 16.3 Integration | ||
| 16.4 Differentialgleichungen |
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Standardwert: 4
Die Optionsvariable lhospitallim enthält die maximale Zahl an
Iterationen, für die die L'Hospitalsche Regel von der Funktion
limit
angewendet wird. Damit wird verhindert, dass die Funktion
limit in eine unendliche Schleife gerät.
Berechnet den Grenzwert des Ausdrucks expr, wenn die reelle Variable x gegen den Wert val in Richtung dir geht. Die Richtung dir kann die Werte plus für einen Grenzwert von oben und minus für einen Grenzwert von unten haben. Für einen zweiseitigen Grenzwert wird die Richtung dir nicht angegeben.
Maxima verwendet die folgenden Symbole für unendliche und infinitesimale Größen sowie undefinierte und unbestimmte Größen, die als Ergebnis eines Grenzwertes oder als Wert für die Bestimmung eines Grenzwertes auftreten können:
inf positiv unendlich
minf negativ unendlich
infinity komplex unendlich
zeroapositiv unendlich klein
zerobnegativ unendlich klein
undein nicht definiertes Ergebnis
indein unbestimmtes Ergebnis
Die Optionsvariable lhospitallim
enthält die maximale Zahl an
Iterationen, für die die L'Hospitalsche Regel von der Funktion limit
angewendet wird.
Hat tlimswitch
den Wert true, nutzt die Funktion limit eine
Taylor-Reihenentwicklung, wenn der Grenzwert nicht mit anderen Methoden
bestimmt werden kann.
Hat die Optionsvariable limsubst den Wert false, wird die
Ersetzung von limit(f(g(x)),x,x0) durch f(limit(g(x),x,x0)) für
eine unbekannte Funktion f verhindert. Siehe auch limsubst.
limit kann mit einem Argument aufgerufen werden, um Ausdrücke
zu vereinfachen, die unendliche oder infinitesimale Größen enthalten.
Zum Beispiel wird limit(inf-1) zu inf vereinfacht.
Der Algorithmus ist in der folgenden Arbeit beschrieben: Wang, P., "Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation", Ph.D. thesis, MAC TR-92, October 1971.
Beispiele:
(%i1) limit(x*log(x),x,0,plus) (%o1) 0 (%i2) limit((x+1)^(1/x),x,0) (%o2) %e (%i3) limit(%e^x/x,x,inf) (%o3) inf (%i4) limit(sin(1/x),x,0) (%o4) ind
Standardwert: false
Ist eine Funktion f teil eines Ausdrucks für den Maxima den Grenzwert
sucht, dann wird folgende Ersetzung ausgeführt:
limit f(g(x)) = f(limit g(x)) x -> x0 x -> x0
Hat die Optionsvariable limsubst den Wert false, führt
limit
die oben gezeigte Ersetzung nicht für unbekannte Funktionen
f aus. Dies vermeidet Fehler wie zum Beispiel ein Ergebnis von 1 für
den Grenzwert limit (f(n)/f(n+1), n, inf). Hat limsubst den Wert
true, führt Maxima die oben gezeigte Ersetzung auch für unbekannte
Funktionen f aus.
Beispiele:
Die Funktion f ist nicht definiert. Maxima gibt im ersten Fall eine
Substantivform zurück. Im zweiten Fall nimmt Maxima den Grenzwert für die
unbekannte Funktion als f(10) an.
(%i1) limit(f(x),x,10),limsubst:false;
(%o1) limit f(x)
x -> 10
(%i2) limit(f(x),x,10),limsubst:true;
(%o2) f(10)
Bestimmt den Grenzwert mit Hilfe der Taylor-Reihenwicklung des Ausdrucks
expr, wenn die Variable x gegen den Wert val aus der
Richtung dir geht. Diese Methode wird von limit angewendet, wenn
die Optionsvariable tlimswitch
den Wert true ist. Das ist der
Standardwert.
Standardwert: true
Hat tlimswitch den Wert true, nutzt die Funktion limit
eine
Taylor-Reihenentwicklung, wenn der Grenzwert nicht mit anderen Methoden
bestimmt werden kann.
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Wertet den Ausdruck expr aus, wobei dessen Variablen die Werte annehmen,
die in der Liste der Gleichungen [eqn_1, ..., eqn_n]
oder in der einzelnen Gleichung eqn angegeben sind.
Wenn ein Teilausdruck von einer Variablen abhängt, für die ein Wert
angegeben ist, aber kein atvalue, und er auch sonst nicht ausgewertet
werden kann, dann wird von at eine Substantivform zurückgegeben.
at führt mehrfache Ersetzungen parallel aus.
Siehe auch atvalue.
Für andere Funktionen, die Ersetzungen
ausführen, siehe weiterhin subst
und ev.
Beispiele:
(%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
2
(%o1) a
(%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
(%o2) @2 + 1
(%i3) printprops (all, atvalue);
!
d !
--- (f(@1, @2))! = @2 + 1
d@1 !
!@1 = 0
2
f(0, 1) = a
(%o3) done
(%i4) diff (4*f(x, y)^2 - u(x, y)^2, x);
d d
(%o4) 8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
dx dx
(%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
!
2 d !
(%o5) 16 a - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))! )
dx !
!x = 0, y = 1
Gibt eine Liste mit zwei Elementen zurück aus denen die Stammfunktion des
Ausdrucks expr mit der Variablen x konstruiert werden kann. Der
Ausdruck expr kann eine unbekannte Funktion u und deren Ableitungen
enthalten. Ist L das Ergebnis der Funktion antid, dann ist der
Ausdruck L[1]+ 'integrate(L[2], x) die gesuchte
Stammfunktion des Ausdrucks expr mit der Variablen x.
Kann antid die Stammfunktion vollständig bestimmen, ist das zweite
Element der Liste Null. Hat antid keinerlei Erfolg, ist das erste
Element der Liste Null. In anderen Fällen enthält das erste Elemente den
integrierbaren Anteil des Ausdrucks expr und das zweite Element den nicht
integrierbaren Anteil des Ausdrucks.
Mit dem Kommando load(antid) wird die Funktion geladen.
antid steht in folgender Beziehung zur Funktion antidiff.
Ist
L die Liste mit den Ergebnissen der Funktion antid, dann hat die
Funktion antidiff das Ergebnis L[1] + 'integrate(L[2],
x) mit x als der Variablen des Ausdrucks expr.
Beispiele:
(%i1) load ("antid")$
(%i2) expr: exp (z(x)) * diff (z(x), x) * y(x);
z(x) d
(%o2) y(x) %e (-- (z(x)))
dx
(%i3) a1: antid (expr, x, z(x));
z(x) z(x) d
(%o3) [y(x) %e , - %e (-- (y(x)))]
dx
(%i4) a2: antidiff (expr, x, z(x));
/
z(x) [ z(x) d
(%o4) y(x) %e - I %e (-- (y(x))) dx
] dx
/
(%i5) a2 - (first (a1) + 'integrate (second (a1), x));
(%o5) 0
(%i6) antid (expr, x, y(x));
z(x) d
(%o6) [0, y(x) %e (-- (z(x)))]
dx
(%i7) antidiff (expr, x, y(x));
/
[ z(x) d
(%o7) I y(x) %e (-- (z(x))) dx
] dx
/
Gibt die Stammfunktion des Ausdrucks expr mit der Variablen x zurück. Der Ausdruck expr kann eine unbekannte Funktion u und deren Ableitungen enthalten.
Kann antidiff die Stammfunktion nicht oder nur teilweise bestimmen,
enthält das Ergebnis das Integral des nicht bestimmbaren Anteils.
Mit dem Kommando load(antid) wird die Funktion geladen.
antidiff steht in folgender Beziehung zur Funktion antid.
Ist
L die Liste mit den Ergebnissen der Funktion antid, dann hat die
Funktion antidiff das Ergebnis L[1] + 'integrate(L[2],
x) mit x als der Variablen des Ausdrucks expr.
Für Beispiele und weitere Ausführungen siehe die Funktion antid.
Wird für ein Symbol eine Ableitung mit der Funktion gradef
definiert,
dann erhält das Symbol die Eigenschaft atomgrad.
Dem Ausdruck expr wird der Wert c am Punkt x = a
zugewiesen. Typischerweise werden Randwerte mit der Funktion atvalue
definiert.
Der Ausdruck expr ist entweder eine Funktion f(x_1, ...,
x_m) oder die Ableitung einer Funktion diff(f(x_1, ...,
x_m), x_1, n_1, ..., x_n, n_m). Die Argumente
müssen explizit auftreten. n_i ist die Ordnung der Ableitung
bezüglich der Variablen x_i.
Die Randwerte werden durch die Liste [x_1 = a_1, ...,
x_m = a_m] definiert. Eine einzelne Gleichung muss nicht als Liste
angegeben werden.
printprops([f_1, f_2, ...], atvalue) zeigt die Randwerte der
Funktionen f_1, f_2, ... wie sie mit der Funktion
atvalue definiert wurden. printprops (f, atvalue) zeigt
nur die Randwerte für die Funktion f. printprops (all, atvalue)
zeigt die Randwerte aller Funktionen.
Die Symbole @1, @2, … repräsentieren die Variablen
x_1, x_2, …, wenn die Randwerte angezeigt werden.
atvalue wertet die Argumente aus. atvalue gibt den Randwert
c zurück.
Beispiele:
(%i1) atvalue (f(x,y), [x = 0, y = 1], a^2);
2
(%o1) a
(%i2) atvalue ('diff (f(x,y), x), x = 0, 1 + y);
(%o2) @2 + 1
(%i3) printprops (all, atvalue);
!
d !
--- (f(@1, @2))! = @2 + 1
d@1 !
!@1 = 0
2
f(0, 1) = a
(%o3) done
(%i4) diff (4*f(x,y)^2 - u(x,y)^2, x);
d d
(%o4) 8 f(x, y) (-- (f(x, y))) - 2 u(x, y) (-- (u(x, y)))
dx dx
(%i5) at (%, [x = 0, y = 1]);
!
2 d !
(%o5) 16 a - 2 u(0, 1) (-- (u(x, y))! )
dx !
!x = 0, y = 1
The exterior calculus of differential forms is a basic tool of differential
geometry developed by Elie Cartan and has important applications in the theory
of partial differential equations. The cartan package implements the
functions ext_diff and lie_diff, along with the operators
~ (wedge product) and | (contraction of a form with a vector.)
Type demo (tensor) to see a brief description of these commands along
with examples.
cartan was implemented by F.B. Estabrook and H.D. Wahlquist.
del(x) repräsentiert das Differential der Variablen x.
diff gibt Ausdrücke zurück, die Differentiale enthalten, wenn keine
Variablen angegeben sind, nach denen abgeleitet werden soll. In diesem Fall
gibt diff das totale Differential zurück.
Beispiele:
(%i1) diff (log (x));
del(x)
(%o1) ------
x
(%i2) diff (exp (x*y));
x y x y
(%o2) x %e del(y) + y %e del(x)
(%i3) diff (x*y*z);
(%o3) x y del(z) + x z del(y) + y z del(x)
Die Diracsche Delta-Funktion.
Maxima kennt die Delta-Funktion nur im Zusammenhang mit
Laplace-Transformationen. Siehe laplace.
Beispiel:
(%i1) laplace (delta (t - a) * sin(b*t), t, s);
Is a positive, negative, or zero?
p;
- a s
(%o1) sin(a b) %e
Standardwert: []
dependencies ist eine Liste der Symbole, für die eine Abhängigkeit
mit den Funktionen depends oder gradef definiert wurde. Siehe
depends
und gradef.
Definiert die Abhängigkeit einer Funktion f von einer Variablen x.
Ist keine Abhängigkeit definiert, dann hat die Ableitung diff(f, x) das
Ergebnis Null. Wird mit dem Kommando depends(f, x) definiert, dass die
Funktion f von der Variablen x abhängt, dann ist das Ergebnis der
Ableitung die Substantivform 'diff(f,x,1).
Jedes Argument f_1, x_1, … kann der Name einer Variablen, eines Arrays oder eine Liste mit Namen sein. Jedes Symbol f_i hängt ab von den Symbolen der Liste x_i. Ist eines der Symbole f_i der Name eines Arrays, dann hängen alle Elemente des Arrays von x_i ab.
diff erkennt indirekte Abhängigkeiten und wendet für diesen Fall
die Kettenregel an.
remove(f, dependency) entfernt alle Abhängigkeiten, die für
f definiert wurden.
depends gibt eine Liste der Abhängigkeiten zurück. Die
Abhängigkeiten werden in die Informationsliste dependencies
eingetragen. depends wertet die Argumente aus.
Die Funktion diff
ist die einzige Maxima-Funktion, die Abhängigkeiten
erkennt, die mit depends definiert wurden. Andere Funktionen wie
integrate
oder laplace
erkennen keine Abhängigkeiten, die mit
der depends definiert wurden. Für diese Funktionen müssen die
Abhängigkeiten explizit angegeben werden, zum Beispiel als
integrate(f(x), x).
Beispiele:
(%i1) depends ([f, g], x);
(%o1) [f(x), g(x)]
(%i2) depends ([r, s], [u, v, w]);
(%o2) [r(u, v, w), s(u, v, w)]
(%i3) depends (u, t);
(%o3) [u(t)]
(%i4) dependencies;
(%o4) [f(x), g(x), r(u, v, w), s(u, v, w), u(t)]
(%i5) diff (r.s, u);
dr ds
(%o5) -- . s + r . --
du du
(%i6) diff (r.s, t);
dr du ds du
(%o6) -- -- . s + r . -- --
du dt du dt
(%i7) remove (r, dependency);
(%o7) done
(%i8) diff (r.s, t);
ds du
(%o8) r . -- --
du dt
Standardwert: false
Hat derivabbrev den Wert true, werden symbolische Ableitungen
mit einem tiefgestellten Index angezeigt. Ansonsten werden Ableitungen als
dy/dx angezeigt.
Beispiel:
(%i1) derivabbrev:false$
(%i2) 'diff(y,x);
dy
(%o2) --
dx
(%i3) derivabbrev:true$
(%i4) 'diff(y,x);
(%o4) y
x
Gibt die höchste Ableitung des Arguments y in Bezug auf die Variable x zurück, die in dem Ausdruck expr enthalten ist.
Beispiel:
(%i1) 'diff (y, x, 2) + 'diff (y, z, 3) + 'diff (y, x) * x^2;
3 2
d y d y 2 dy
(%o1) --- + --- + x --
3 2 dx
dz dx
(%i2) derivdegree (%, y, x);
(%o2) 2
derivlist ist ein Auswertungsschalter für die Funktion ev.
ev führt nur die Ableitungen in Bezug auf die angegebenen Variablen
var_1, …, var_k aus. Siehe auch ev.
Standardwert: false
Hat derivsubst den Wert true, werden Substitutionen auch in
Ausdrücke mit Ableitungen ausgeführt. Zum Beispiel hat dann
subst(x, 'diff(y, t), 'diff(y, t, 2)) das Ergebnis 'diff(x, t).
Gibt die Ableitungen oder Differentiale des Ausdrucks expr in Bezug auf alle oder einige der Variablen des Ausdrucks zurück.
diff(expr, x, n) gibt die n-te Ableitung des Ausdrucks
expr in Bezug auf die Variable x zurück.
diff(expr, x_1, n_1, ..., x_m, n_m) gibt
die partielle Ableitung des Ausdrucks expr in Bezug auf die Variablen
x_1, ..., x_m zurück. Dies ist äquivalent zu diff(...
(diff(expr, x_m, n_m) ...), x_1, n_1).
diff(expr, x) gibt die erste Ableitung des Ausdrucks
expr in Bezug auf die Variable x zurück.
diff(expr) gibt das totale Differential des Ausdrucks expr
zurück. Siehe auch del.
Wenn die Ableitungen nicht ausgeführt werden sollen, kann der
Quote-Operator
' verwendet werden, um eine Substantivform der
Ableitung zu erhalten.
Hat derivabbrev
den Wert true, werden symbolische Ableitungen
mit einem tiefgestelltem Index angezeigt. Ansonsten werden Ableitungen als
dy/dy angezeigt.
diff ist auch ein Auswertungsschalter für die Funktion ev. Das
Kommando ev(expr), diff bewirkt, dass alle Ableitungen ausgeführt
werden, die im Ausdruck expr enthalten sind. Siehe auch die Funktion
ev.
derivative ist ein Alias-Name der Funktion diff.
Beispiele:
(%i1) diff (exp (f(x)), x, 2);
2
f(x) d f(x) d 2
(%o1) %e (--- (f(x))) + %e (-- (f(x)))
2 dx
dx
(%i2) derivabbrev: true$
(%i3) 'integrate (f(x, y), y, g(x), h(x));
h(x)
/
[
(%o3) I f(x, y) dy
]
/
g(x)
(%i4) diff (%, x);
h(x)
/
[
(%o4) I f(x, y) dy + f(x, h(x)) h(x) - f(x, g(x)) g(x)
] x x x
/
g(x)
For the tensor package, the following modifications have been incorporated:
dimension [default value: 4]. This will cause the differentiation to
be carried out with respect to the x_i'th member of the list
coordinates which should be set to a list of the names of the
coordinates, e.g., [x, y, z, t]. If coordinates is bound to an
atomic variable, then that variable subscripted by x_i will be used for
the variable of differentiation. This permits an array of coordinate names
or subscripted names like X[1], X[2], … to be used. If
coordinates has not been assigned a value, then the variables will be
treated as in (1) above.
Definiert eine partielle Ableitung der Funktion f oder Variablen a.
Das Kommando gradef(f(x_1, ..., x_n), g_1, ...,
g_m) definiert die partielle Ableitung df/dx_i als
g_i. g_i ist ein Ausdruck. g_i kann ein Funktionsaufruf
sein, aber nicht der Name einer Funktion. Die Anzahl der partiellen Ableitungen
m kann kleiner als die Anzahl der Argumente n sein.
gradef(a, x, expr) definiert die Ableitung der
Variablen a in Bezug auf die Variable x als expr. Wie mit der
Funktion depends wird a als abhängig von x deklariert. Die
Abhängigkeit wird in die Liste dependencies eingetragen. Siehe auch
depends.
Bis auf das erste Argument werden die Argumente der Funktion gradef
ausgewertet. gradef gibt die Funktion oder Variable zurück, für die
eine partielle Ableitung definiert wurde.
gradef kann die Ableitungen von vorhandenen Maxima-Funktionen neu
definieren. Zum Beispiel definiert gradef(sin(x), sqrt (1 - sin(x)^2))
eine neue Ableitung der Sinusfunktion.
gradef kann keine partiellen Ableitungen für indizierte Funktionen
definieren.
printprops([f_1, ..., f_n], gradef) zeigt die mit
gradef definierten partiellen Ableitungen der Funktionen f_1,
…, f_n an und printprops([a_n, ..., a_n],
atomgrad) zeigt die mit gradef definierten partiellen Ableitungen der
Variablen a_n, …, a_n an. Siehe printprops.
gradefs
ist eine Informationsliste, die die Funktionen enthält, für
die mit gradef eine Ableitung definierte wurde. Die Liste enthält
keine Variablen, für die Ableitungen definiert wurden.
Standardwert: []
gradefs ist eine Liste der Funktionen, für die eine Ableitung mit der
Funktion gradef
definiert wurde.
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| 16.3.1 Einführung in die Integration | ||
| 16.3.2 Funktionen und Variablen der Integration | ||
| 16.3.3 Einführung in QUADPACK | ||
| 16.3.4 Funktionen und Variablen für QUADPACK |
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Maxima hat verschiedene Algorithmen, um Integrale zu behandeln. Die Funktion
integrate
nutzt diese. Maxima hat ein Paket antid
, welches
Integrale mit einer unbekannten Funktion, deren Ableitung bekannt ist,
integrieren kann. Für die numerische Berechnung von Integralen hat Maxima
das Paket QUADPACK mit Funktionen wie quad_qag
oder
quad_qags.
Die Funktionen laplace
und specint
finden
die Laplacetransformation. Wird das Paket abs_integrate geladen, kann
Maxima weitere Integrale lösen. Dazu gehören insbesondere Integrale mit
der Betragsfunktion abs
und der Signum-Funktion signum.
Siehe
auch abs_integrate.
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Führt eine Substitution der Integrationsvariablen, die als f(x,y)=0 angegeben wird, für die Variable x in allen Integralen durch, die in expr enthalten sind. Die neue Variable ist y.
(%i1) assume(a > 0)$
(%i2) 'integrate (%e**sqrt(a*y), y, 0, 4);
4
/
[ sqrt(a) sqrt(y)
(%o2) I %e dy
]
/
0
(%i3) changevar (%, y-z^2/a, z, y);
0
/
[ abs(z)
2 I z %e dz
]
/
- 2 sqrt(a)
(%o3) - ----------------------------
a
Ein Ausdruck mit einem Integral in einer Substantivform 'integrate wie
im obigen Beispiel kann mit der Funktion ev
und dem Auswertungsschalter
nouns
ausgewertet werden. Das Beispiel von oben kann zum Beispiel mit
ev(%o3, nouns) ausgewertet werden.
Mit changevar können auch die Indizes einer Summe oder eines Produktes
substituiert werden. Dabei muss beachtet werden, dass nur lineare
Verschiebungen, wie zum Beispiel i = j + ..., eine korrekte Substitution
für Summen und Produkte sind.
(%i4) sum (a[i]*x^(i-2), i, 0, inf);
inf
====
\ i - 2
(%o4) > a x
/ i
====
i = 0
(%i5) changevar (%, i-2-n, n, i);
inf
====
\ n
(%o5) > a x
/ n + 2
====
n = - 2
Eine Routine, um ein bestimmtes doppeltes Integral mit der Simpsonschen Regel numerisch zu berechnen.
b s(x)
/ /
[ [
I I f(x, y) dy dx
] ]
/ /
a r(x)
Die Funktion f muss eine Funktion von zwei Variablen sein. r und
s müssen Funktionen einer Variablen sein. a und b sind
Gleitkommazahlen. Die Optionsvariablen dblint_x und dblint_y
kontrollieren die Anzahl der Unterteilungen des Integrationsintervalls für
den Simpsonschen Algorithmus. Der Standardwert ist jeweils 10.
Das Kommando demo(dblint) zeigt ein Beispiel.
Die numerischen Funktionen des Pakets QUADPACK sind gegenüber
dblint zu bevorzugen.
Sucht das bestimmte Integral eines Ausdrucks expr für die
Integrationsvariable x in den Grenzen a und b. Diese Funktion
wird ausgeführt, wenn ein bestimmtes Integral mit der Funktion
integrate
gesucht wird.
defint gibt einen symbolischen Ausdruck als Ergebnis zurück. Ist das
Integral divergent, generiert Maxima eine Fehlermeldung. Kann defint
keine Lösung finden, wird eine Substantivform zurückgegeben.
Standardwert: true
Hat erfflag den Wert false, wird von der Funktion risch
die Fehlerfunktion erf
nicht in die Lösung eingeführt.
Berechnet die Inverse Laplace-Transformation des Ausdrucks expr für die
Variable s und den Parameter t. expr muss eine rationale
Funktion sein, in deren Nenner nur lineare und quadratische Faktoren auftreten.
Mit den Funktionen laplace
und ilt sowie den Funktionen
solve
oder linsolve
können lineare Differentialgleichungen oder
Systeme von linearen Differentialgleichungen gelöst werden.
(%i1) 'integrate (sinh(a*x)*f(t-x), x, 0, t) + b*f(t) = t**2;
t
/
[ 2
(%o1) I f(t - x) sinh(a x) dx + b f(t) = t
]
/
0
(%i2) laplace (%, t, s);
a laplace(f(t), t, s) 2
(%o2) b laplace(f(t), t, s) + --------------------- = --
2 2 3
s - a s
(%i3) linsolve ([%], ['laplace(f(t), t, s)]);
2 2
2 s - 2 a
(%o3) [laplace(f(t), t, s) = --------------------]
5 2 3
b s + (a - a b) s
(%i4) ilt (rhs (first (%)), s, t);
Is a b (a b - 1) positive, negative, or zero?
pos;
sqrt(a b (a b - 1)) t
2 cosh(---------------------) 2
b a t
(%o4) - ----------------------------- + -------
3 2 2 a b - 1
a b - 2 a b + a
2
+ ------------------
3 2 2
a b - 2 a b + a
Standardwert: true
Hat intanalysis den Wert true, sucht Maxima nach Polen in einem
Integranden. Existieren solche, wird der Cauchysche Hauptwert des Integrals
bestimmt. Hat intanalysis den Wert false, wird die Integration
unter der Annahme ausgeführt, dass das Integral keine Pole im
Integrationsbereich hat.
Siehe auch ldefint.
Beispiele:
Maxima kann das folgende Integral lösen, wenn intanalysis den Wert
false hat.
(%i1) integrate(1/(sqrt(x)+1),x,0,1);
1
/
[ 1
(%o1) I ----------- dx
] sqrt(x) + 1
/
0
(%i2) integrate(1/(sqrt(x)+1),x,0,1),intanalysis:false;
(%o2) 2 - 2 log(2)
(%i3) integrate(cos(a)/sqrt((tan(a))^2 +1),a,-%pi/2,%pi/2);
The number 1 isn't in the domain of atanh
-- an error. To debug this try: debugmode(true);
(%i4) intanalysis:false$
(%i5) integrate(cos(a)/sqrt((tan(a))^2+1),a,-%pi/2,%pi/2);
%pi
(%o5) ---
2
Sucht die symbolische Lösung des Integrals für den Ausdruck expr und
der Integrationsvariablen x. integrate(expr, x) löst
das unbestimmte Integral.
integrate(expr, x, a, b) sucht die Lösung des
bestimmten Integrals in den Integrationsgrenzen a und b. Die
Integrationsgrenzen dürfen die Integrationsvariable x nicht enthalten.
Für die Integrationsgrenzen muss nicht gelten a < b. Sind die
Integrationsgrenzen gleich, dann ist das Ergebnis der Integration Null.
Für die numerische Lösung von Integralen siehe die Funktion
quad_qag
und verwandte Funktionen. Residuen eines Integranden können
mit der Funktion residue
berechnet werden. Einen alternativen
Algorithmus für das Lösen von Integralen, die im Integranden eine unbekannte
Funktion und deren Ableitung enthalten, bieten die Funktionen antid
und
antidiff.
Findet integrate keine Lösung wird eine Substantivform oder ein
Ausdruck mit einer oder mehreren Substantivformen zurückgegeben.
Soll das Integral nicht sofort berechnet werden, kann die Substantivform des
Integrals angegeben werden, zum Beispiel 'integrate(expr, x).
Die Berechnung des Integrals ist dann mit Funktion ev
und dem
Auswertungsschalter nouns
möglich.
Die Abhängigkeit der Funktionen im Integranden von Variablen muss explizit zum
Beispiel mit f(x) angegeben werden. integrate beachtet keine
Abhängigkeit die mit der Funktion depends
definiert werden.
Benötigt integrate Informationen zu einem Parameter, die nicht aus dem
aktuellen Kontext abgeleitet werden können, wird der Nutzer nach den fehlenden
Informationen gefragt.
integrate ist standardmäßig nicht als linear deklariert. Siehe
declare
und linear.
Nur in einigen speziellen Fällen wendet integrate die Methode der
partiellen Integration an.
Beispiele:
Elementare unbestimmte und bestimme Integrale.
(%i1) integrate (sin(x)^3, x);
3
cos (x)
(%o1) ------- - cos(x)
3
(%i2) integrate (x/ sqrt (b^2 - x^2), x);
2 2
(%o2) - sqrt(b - x )
(%i3) integrate (cos(x)^2 * exp(x), x, 0, %pi);
%pi
3 %e 3
(%o3) ------- - -
5 5
(%i4) integrate (x^2 * exp(-x^2), x, minf, inf);
sqrt(%pi)
(%o4) ---------
2
Gebrauch von assume und interaktive Fragen.
(%i1) assume (a > 1)$
(%i2) integrate (x**a/(x+1)**(5/2), x, 0, inf);
2 a + 2
Is ------- an integer?
5
no;
Is 2 a - 3 positive, negative, or zero?
neg;
3
(%o2) beta(a + 1, - - a)
2
Substitution der Integrationsvariablen. In diesem Beispiel werden zwei
verschiedene Substitutionen vorgenommen. Zuerst wird eine Ableitung der
Funktion mit der Funktion gradef definiert. Die andere nutzt die
Ableitung diff(r(x)) einer unbekannten Funktion r(x).
(%i3) gradef (q(x), sin(x^2));
(%o3) q(x)
(%i4) diff (log (q (r (x))), x);
d 2
(-- (r(x))) sin(r (x))
dx
(%o4) ----------------------
q(r(x))
(%i5) integrate (%, x);
(%o5) log(q(r(x)))
Die Lösung enthält eine Substantivform für das Integral einer rationalen
Funktion. Siehe auch integrate_use_rootsof
für Informationen zu
Integralen von rationalen Funktionen.
(%i1) expand ((x-4) * (x^3+2*x+1));
4 3 2
(%o1) x - 4 x + 2 x - 7 x - 4
(%i2) integrate (1/%, x);
/ 2
[ x + 4 x + 18
I ------------- dx
] 3
log(x - 4) / x + 2 x + 1
(%o2) ---------- - ------------------
73 73
Definition einer Funktion als ein Integral. Die rechte Seite einer
Funktionsdefinition wird nicht ausgewertet. Daher enthält die
Funktionsdefinition das Integral in einer Substantivform. Der
Quote-Quote-Operator
'' erzwingt die Auswertung der
Substantivform.
(%i1) f_1(a) := integrate (x^3, x, 1, a);
3
(%o1) f_1(a) := integrate(x , x, 1, a)
(%i2) ev(f_1 (7), nouns);
(%o2) 600
(%i3) /* Note parentheses around integrate(...) here */
f_2(a) := ''(integrate (x^3, x, 1, a));
4
a 1
(%o3) f_2(a) := -- - -
4 4
(%i4) f_2(7);
(%o4) 600
Standardwert: %c
Wird eine symbolische Integrationskonstante für die Lösung eines Integrals
benötigt, erzeugt Maxima diese durch Verkettung des Symbols
integration_constant mit einer laufenden Nummer, die der Wert der
Optionsvariablen integration_constant_counter
ist.
Der Optionsvariablen integration_constant kann ein beliebiges Symbol
zugewiesen werden.
Beispiele:
(%i1) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o1) -- = x + %c1
3
(%i2) integration_constant : 'k;
(%o2) k
(%i3) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o3) -- = x + k2
3
Standardwert: 0
Wird eine symbolische Integrationskonstante für die Lösung eines Integrals
benötigt, erzeugt Maxima diese durch Verkettung des Symbols
integration_constant
mit einer laufenden Nummer, die der Wert der
Optionsvariablen integration_constant_counter ist.
Der Wert der Systemvariablen integration_constant_counter wird vor der
Erzeugung der Integrationskonstanten erhöht.
Beispiele:
(%i1) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o1) -- = x + %c1
3
(%i2) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o2) -- = x + %c2
3
(%i3) reset (integration_constant_counter);
(%o3) [integration_constant_counter]
(%i4) integrate (x^2 = 1, x);
3
x
(%o4) -- = x + %c1
3
Standardwert: false
Hat integrate_use_rootsof den Wert true und der Nenner einer
rationalen Funktion kann nicht faktorisiert werden, dann gibt
integrate
ein Integral zurück, das eine Summe über die unbekannten
Wurzeln des Nenners enthält.
Hat zum Beispiel integrate_use_rootsof den Wert false, gibt
integrate im Folgenden ein Lösung zurück, die eine Substantivform
enthält.
(%i1) integrate_use_rootsof: false$
(%i2) integrate (1/(1+x+x^5), x);
/ 2
[ x - 4 x + 5
I ------------ dx 2 x + 1
] 3 2 2 5 atan(-------)
/ x - x + 1 log(x + x + 1) sqrt(3)
(%o2) ----------------- - --------------- + ---------------
7 14 7 sqrt(3)
Mit dem Wert true für die Optionsvariable integrate_use_rootsof
wird das ungelöste Integral als eine Summe über die Wurzeln des Nenners der
rationalen Funktion zurückgegeben.
(%i3) integrate_use_rootsof: true$
(%i4) integrate (1/(1+x+x^5), x);
==== 2
\ (%r4 - 4 %r4 + 5) log(x - %r4)
> -------------------------------
/ 2
==== 3 %r4 - 2 %r4
3 2
%r4 in rootsof(x - x + 1)
(%o4) ----------------------------------------------------------
7
2 x + 1
2 5 atan(-------)
log(x + x + 1) sqrt(3)
- --------------- + ---------------
14 7 sqrt(3)
Alternativ kann der Nutzer die Wurzeln des Nenners separat berechnen und den
Integranden mit Hilfe der Wurzeln ausdrücken. Zum Beispiel als
1/((x - a)*(x - b)*(x - c)) oder 1/((x^2-(a+b)*x + a*b)*(x - c))
für ein kubisches Polynom mit drei Nullstellen im Nenner. Auf diese Weise
kann Maxima in einigen Fällen eine Lösung für ein Integral finden.
Sucht die Laplace-Transformation des Ausdrucks expr für die Integrationsvariable x und den Parameter s.
laplace findet die Laplace-Transformation für Ausdrücke, die die
Funktionen delta,
exp,
log,
sin,
cos,
sinh,
cosh
und erf
sowie Ausdrücke
mit derivative,
integrate,
sum
und ilt
enthalten.
Kann laplace die Laplace-Transformation nicht finden, wird die Funktion
specint
aufgerufen. specint kann die Laplace-Transformation für
eine Vielzahl von speziellen Funktionen im Integranden berechnen. Findet auch
specint keine Lösung ist das Ergebnis eine Substantivform.
laplace erkennt die Faltung von Funktionen der Form
integrate (f(x) * g(t - x), x, 0, t). Andere Faltungen werden nicht
erkannt.
Funktionale Abhängigkeiten von Variablen müssen explizit angegeben werden.
laplace erkennt keine Abhängigkeiten, die mit der Funktion
depends
definiert wurden. Eine Funktion die von den Variablen x
abhängt, muss als f(x) im Ausdruck expr auftreten.
Siehe auch ilt
für die Inverse Laplace-Transformation.
Beispiele:
(%i1) laplace (exp (2*t + a) * sin(t) * t, t, s);
a
%e (2 s - 4)
(%o1) ---------------
2 2
(s - 4 s + 5)
(%i2) laplace ('diff (f (x), x), x, s);
(%o2) s laplace(f(x), x, s) - f(0)
(%i3) diff (diff (delta (t), t), t);
2
d
(%o3) --- (delta(t))
2
dt
(%i4) laplace (%, t, s);
!
d ! 2
(%o4) - -- (delta(t))! + s - delta(0) s
dt !
!t = 0
(%i5) assume(a>0)$
(%i6) laplace(gamma_incomplete(a,t),t,s),gamma_expand:true;
- a - 1
gamma(a) gamma(a) s
(%o6) -------- - -----------------
s 1 a
(- + 1)
s
(%i7) factor(laplace(gamma_incomplete(1/2,t),t,s));
s + 1
sqrt(%pi) (sqrt(s) sqrt(-----) - 1)
s
(%o7) -----------------------------------
3/2 s + 1
s sqrt(-----)
s
(%i8) assume(exp(%pi*s)>1)$
(%i9) laplace(sum((-1)^n*unit_step(t-n*%pi)*sin(t),n,0,inf),t,s)
,simpsum;
%i %i
------------------------ - ------------------------
- %pi s - %pi s
(s + %i) (1 - %e ) (s - %i) (1 - %e )
(%o9) ---------------------------------------------------
2
(%i9) factor(%);
%pi s
%e
(%o9) -------------------------------
%pi s
(s - %i) (s + %i) (%e - 1)
Sucht die Lösung des bestimmten Integrals für den Integranden expr.
ldefint bestimmt die Stammfunktion und sucht die Grenzwerte mit der
Funktion limit an den Integrationsgrenzen a und b. Kann ein
Grenzwert nicht ermittelt werden, enthält das Ergebnis die Substantivform
des Grenzwertes.
ldefint wird nicht von der Funktion integrate aufgerufen. Daher
kann ldefint ein von integrate verschiedenes Ergebnis haben.
ldefint verwendet immer denselben Algorithmus, um eine Lösung zu
finden. Dagegen wendet integrate verschiedene Algorithmen an, um nach
einer Lösung zu suchen.
Berechnet das Residuum für den Ausdruck expr, wenn die Variable z gegen den Wert z_0 geht.
Beispiele:
(%i1) residue (s/(s**2+a**2), s, a*%i);
1
(%o1) -
2
(%i2) residue (sin(a*x)/x**4, x, 0);
3
a
(%o2) - --
6
Nutzt den transzendenten Risch-Algorithmus für die Integration des
Ausdruck expr und der Integrationsvariable x. Der algebraische
Risch-Algorithmus ist nicht implementiert. Der transzendente Risch-Algorithmus
behandelt Integranden mit Exponential- und Logarithmusfunktionen. Der
Risch-Algorithmus wird von integrate
aufgerufen, wenn integrate
keine Stammfunktion finden kann.
Hat erfflag
den Wert false, werden von der Funktion risch
keine Fehlerfunktionen erf in die Lösung eingeführt.
Beispiele:
(%i1) risch (x^2*erf(x), x);
2
3 2 - x
%pi x erf(x) + (sqrt(%pi) x + sqrt(%pi)) %e
(%o1) -------------------------------------------------
3 %pi
(%i2) diff(%, x), ratsimp;
2
(%o2) x erf(x)
Entspricht der Funktion ldefint mit dem Wert true für die
Optionsvariable tlimswitch.
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QUADPACK ist eine Sammlung von Funktionen für die numerische Berechnung von eindimensionalen bestimmten Integralen. QUADPACK hat den Ursprung in einem Projekt von R. Piessens (1), E. de Doncker (2), C. Ueberhuber (3), und D. Kahaner (4).
Die QUADPACK-Bibliothek, die in Maxima enthalten ist, ist eine automatische
Übersetzung des Fortran Quellcodes mit dem Programm f2cl wie er
in der SLATEC Common Mathematical Library, Version 4.1
(5) vorliegt. Die SLATEC Bibliothek
datiert auf Juli 1993. Die QUADPACK Funktionen wurden bereits einige Jahre
früher programmiert. Es gibt eine weitere Version von QUADPACK bei Netlib
(6). Es ist jedoch unklar worin
sich diese von der SLATEC Version unterscheidet.
Alle QUADPACK-Funktionen versuchen automatisch, ein bestimmtes Integral numerisch innerhalb eine spezifizierten Genauigkeit zu berechnen. Die Übersetzung nach Lisp enthält einige weitere nicht-automatische Funktionen, die jedoch nicht als Maxima Funktionen zur Verfügung stehen.
Weitere Informationen über das QUADPACK-Paket sind in dem QUADPACK-Buch (7) enthalten.
quad_qagIntegration einer allgemeinen Funktion über ein endliches Intervall.
quad_qag
implementiert einen globalen adaptiven Integrator auf
Grundlage der Strategie von Aind (Piessens, 1973). Es kann aus 6 verschiedenen
Paaren von Gauß-Kronrad-Quadraturformeln ausgewählt werden. Die Formeln
höheren Grades sind für stark oszillierende Integranden geeignet.
quad_qagsIntegration einer allgemeinen Funktion über ein endliches Intervall.
Die Funktion quad_qags
implementiert die Strategie einer globalen
adaptiven Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation (de Doncker,
1978). Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit
Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen. Dies führt zum
Beispiel bei Integranden mit Singularitäten, deren Lage und Typ unbekannt
sind, zu einer Effizienzsteigerung.
quad_qagiDie Funktion quad_qagi
führt die Integration einer allgemeinen Funktion
über ein unendliches oder halb-unendliches Intervall aus. Das Intervall
wird auf ein endliches Intervall transformiert. Das transformierte
Integrationsproblem wird dann mit einer geringfügig modifizierten Algorithmus
wie in quad_qags
gelöst.
quad_qawoBerechnung von Integralen mit den trigonometrischen Gewichtsfunktionen
cos(omega x) f(x) oder sin(omega x) f(x) über ein endliches
Intervall, wobei omega eine Konstante ist.
Der Algorithmus der Funktion quad_qawo
zur basiert auf eine modifizierte
Clenshaw-Curtis-Technik. quad_qawo wendet eine adaptive Unterteilung des
Integrationsintervalls mit Extrapolation an, die vergleichbar mit dem
Algorithmus von quad_qags
ist. Zusätzlich wird versucht, die
Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus (Wynn,
1956) zu beschleunigen.
quad_qawfDie Funktion quad_qawf
berechnet die Sinus- oder
Kosinus-Fouriertransformation über ein halb-unendliches
Intervall. Dabei wird die global adaptive Routine quad_qawo
sukzessive
auf endliche Teilintervalle angewendet. Zur Konvergenzbeschleunigung der
resultierenden alternierenden Reihe wird der Epsilon-Algorithmus
(Wynn, 1956) verwendet.
quad_qawsIntegration von w(x) f(x) über ein endliches Intervall [a, b],
wobei w eine Funktion der Form (x - a)^alpha (b - x)^beta v(x)
ist und v(x) ist 1 oder log(x - a) oder log(b - x) oder
log(x - a) log(b - x), und alpha > -1 und beta > -1.
quad_qaws
ist speziell für die effiziente Berechnung von Integralen
über endliche Intervalle mit algebraischen oder algebraisch-logarithmischen
Endpunktsingularitäten konzipiert. Eine globale adaptive Strategie mit
Unterteilung des Integrationsintervalls wird angewendet. Auf Teilintervalle
die keinen Endpunkt des Integrationsintervalls enthalten, kommt ein
Gauß-Kronrod-Formelpaar und auf Randintervallen kommen modifizierte
Clenshaw-Curtis-Formeln zur Anwendung.
quad_qawcDie Funktion quad_qawc
berechnet den Cauchyschen Hauptwert von
f(x)(x - c) über ein endliches Intervall (a, b) und dem Wert
c. Es wird eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Formel angewendet, wenn
c im Teilbereich enthalten ist. Andernfalls wird eine globale adaptive
Strategie mit einem Gauß-Kronrod-Formelpaar angewendet.
quad_qagpBasically the same as quad_qags but points of singularity or
discontinuity of the integrand must be supplied. This makes it easier
for the integrator to produce a good solution.
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Die Funktion quad_qag berechnet das folgende Integral über ein
endliches Intervall.
b
/
[
I f(x) dx
]
/
a
quad_qag implementiert einen globalen adaptiven Integrator auf
Grundlage der Strategie von Aind (Piessens, 1973). Es kann aus 6 verschiedenen
Paaren von Gauß-Kronrad-Quadraturformeln ausgewählt werden. Die Formeln
höheren Grades sind für stark oszillierende Integranden geeignet.
Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird im Integrationsintervall a und b integriert. key wählt den Grad der Gauß-Kronrod-Quadraturformel aus und kann Werte von 1 bis 6 annehmen. Ein größerer Grad ist geeignet für stark oszillierende Integranden.
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die numerische Integration wird adaptiv ausgeführt. Der Integrationsbereich wird solange geteilt, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht wird.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die
Schlüsselwortargumente sind:
epsrelGewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
1.0e-8.
epsabsGewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
0.
limitDie maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der
Standardwert ist 200.
quad_qag gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qag (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 3, 'epsrel=5d-8);
(%o1) [.4444444444492108, 3.1700968502883E-9, 961, 0]
(%i2) integrate (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1);
4
(%o2) -
9
Die Funktion quad_qags berechnet das folgende Integral über ein
endliches Intervall.
b
/
[
I f(x) dx
]
/
a
quad_qags implementiert die Strategie einer globalen adaptiven
Unterteilung des Integrationsintervalls mit Extrapolation (de Doncker, 1978).
Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der Integralapproximation mit Hilfe
des Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) zu beschleunigen. Dies führt zum
Beispiel bei Integranden mit Singularitäten, deren Lage und Typ unbekannt
sind, zu einer Effizienzsteigerung.
Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird im Integrationsintervall a und b integriert.
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die
Schlüsselwortargumente sind:
epsrelGewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
1.0e-8.
epsabsGewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
0.
limitDie maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der
Standardwert ist 200.
quad_qag gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
quad_qags ist genauer und effizienter als quad_qag
für das
folgende Beispiel.
(%i1) quad_qags (x^(1/2)*log(1/x), x, 0, 1, 'epsrel=1d-10); (%o1) [.4444444444444448, 1.11022302462516E-15, 315, 0]
Die Funktion quad_qagi berechnet die folgenden Integrale über ein
unendliches oder halb-unendliches Intervall.
inf
/
[
I f(x) dx
]
/
a
a
/
[
I f(x) dx
]
/
minf
inf
/
[
I f(x) dx
]
/
minf
Das Intervall wird auf ein endliches Intervall transformiert. Das
transformierte Integrationsproblem wird dann mit einem geringfügig
modifizierten Algorithmus wie in quad_qags
gelöst.
Die Funktion f(x) mit der abhängigen Variablen x wird über einen unendlichen Bereich integriert.
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Eine der Grenzen des Integrationsbereiches kann unendlich sein. Ist dies nicht
der Fall gibt quad_qagi eine Substantivform zurück.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die
Schlüsselwortargumente sind:
epsrelGewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
1.0e-8.
epsabsGewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
0.
limitDie maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der
Standardwert ist 200.
quad_qag gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qagi (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf, 'epsrel=1d-8);
(%o1) [0.03125, 2.95916102995002E-11, 105, 0]
(%i2) integrate (x^2*exp(-4*x), x, 0, inf);
1
(%o2) --
32
Die Funktion quad_qawc berechnet den Cauchyschen Hauptwert von
f(x)(x - c) über ein endliches Intervall (a, b) und dem Wert
c.
b
/
[ f(x)
I ----- dx
] x - c
/
a
Es wird eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Formel angewendet, wenn c im Teilbereich enthalten ist, andernfalls wird eine globale adaptive Strategie mit einem Gauß-Kronrod-Formelpaar angewendet.
Die Funktion f(x)/(x - c), die von der Variablen
x abhängt, wird in den Grenzen a und b integriert.
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val. Die
Schlüsselwortargumente sind:
epsrelGewünschter relativer Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
1.0e-8.
epsabsGewünschter absoluter Fehler der Approximation. Der Standardwert ist
0.
limitDie maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven Algorithmus. Der
Standardwert ist 200.
quad_qag gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qawc (2^(-5)*((x-1)^2+4^(-5))^(-1), x, 2, 0, 5,
'epsrel=1d-7);
(%o1) [- 3.130120337415925, 1.306830140249558E-8, 495, 0]
(%i2) integrate (2^(-alpha)*(((x-1)^2 + 4^(-alpha))*(x-2))^(-1),
x, 0, 5);
Principal Value
alpha
alpha 9 4 9
4 log(------------- + -------------)
alpha alpha
64 4 + 4 64 4 + 4
(%o2) (-----------------------------------------
alpha
2 4 + 2
3 alpha 3 alpha
------- -------
2 alpha/2 2 alpha/2
2 4 atan(4 4 ) 2 4 atan(4 ) alpha
- --------------------------- - -------------------------)/2
alpha alpha
2 4 + 2 2 4 + 2
(%i3) ev (%, alpha=5, numer);
(%o3) - 3.130120337415917
Die Funktion quad_qawf berechnet die Sinus- oder
Kosinus-Fouriertransformation mit der Gewichtsfunktion w über ein
halb-unendliches Intervall.
inf
/
[
I f(x) w(x) dx
]
/
a
Zur Berechnung des Integrals wird die global adaptive Routine
quad_qawo
sukzessive auf endliche Teilintervalle angewendet. Zur
Konvergenzbeschleunigung der resultierenden alternierenden Reihe wird
der Epsilon-Algorithmus (Wynn, 1956) verwendet.
Die Gewichtsfunktion w wird mit dem Schlüsselwort trig ausgewählt:
cosw(x) = cos (omega x)
sinw(x) = sin (omega x)
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val.
Die Schlüsselwortargumente sind:
Gewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist
1.0e-10.
(limit - limlst)/2 ist die maximale Zahl an Teilintervallen
des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert ist 200.
Die maximale Anzahl an Chebyshev-Gewichten. Der Wert muss größer als 0
sein. Der Standardwert ist 100.
Obere Grenze für die Anzahl an Zyklen. Der Wert muss größer oder gleich 3 sein. Der Standardwert ist 10.
quad_qawf gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qawf (exp(-x^2), x, 0, 1, 'cos, 'epsabs=1d-9);
(%o1) [.6901942235215714, 2.84846300257552E-11, 215, 0]
(%i2) integrate (exp(-x^2)*cos(x), x, 0, inf);
- 1/4
%e sqrt(%pi)
(%o2) -----------------
2
(%i3) ev (%, numer);
(%o3) .6901942235215714
Die Funktion quad_qawo berechnet das folgende Integral mit den
trigonometrischen Gewichtsfunktionen cos(omega x) f(x) oder
sin(omega x) f(x) über ein endliches Intervall, wobei omega
eine Konstante ist.
b
/
[
I f(x) w(x) dx
]
/
a
Der Algorithmus basiert auf eine modifizierte Clenshaw-Curtis-Technik.
quad_qawo wendet eine adaptive Unterteilung des Integrationsintervalls
mit Extrapolation an, die vergleichbar mit dem Algorithmus von
quad_qags
ist. Zusätzlich wird versucht, die Konvergenz der
Integralapproximation mit Hilfe des Epsilon-Algorithmus zu beschleunigen.
Die Gewichtsfunktion w wird mit dem Schlüsselwort trig ausgewählt:
cosw(x) = cos (omega x)
sinw(x) = sin (omega x)
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val.
Die Schlüsselwortargumente sind:
epsrelGewünschter relativer Fehler der Näherung. Der Standardwert ist
1.0e-8
epsabsGewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 0.
limitlimit/2 ist die maximale Zahl an Teilintervallen des adaptiven
Algorithmus. Der Standardwert ist 200.
maxp1Die maximale Anzahl an Chebyshev-Gewichten. Der Wert muss größer als 0
sein. Der Standardwert ist 100.
limlstObere Grenze für die Anzahl an Zyklen. Der Wert muss größer oder gleich 3 sein. Der Standardwert ist 10.
quad_qawo gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qawo (x^(-1/2)*exp(-2^(-2)*x), x, 1d-8, 20*2^2, 1, cos);
(%o1) [1.376043389877692, 4.72710759424899E-11, 765, 0]
(%i2) rectform (integrate (x^(-1/2)*exp(-2^(-alpha)*x) * cos(x),
x, 0, inf));
alpha/2 - 1/2 2 alpha
sqrt(%pi) 2 sqrt(sqrt(2 + 1) + 1)
(%o2) -----------------------------------------------------
2 alpha
sqrt(2 + 1)
(%i3) ev (%, alpha=2, numer);
(%o3) 1.376043390090716
Die Funktion quad_qaws berechnet das Integral von w(x) f(x) über
ein endliches Intervall [a, b], wobei w eine Funktion der Form
(x - a)^alpha (b - x)^beta v(x) ist und v(x) ist 1 oder
log(x - a) oder log(b - x) oder log(x - a) log(b - x), und
alpha > -1 und beta > -1.
b
/
[
I f(x) w(x) dx
]
/
a
quad_qaws ist speziell für die effiziente Berechnung von Integralen
über endliche Intervalle mit algebraischen oder algebraisch-logarithmischen
Endpunktsingularität konzipiert. Eine globale adaptive Strategie mit
Unterteilung des Integrationsintervalls wird angewendet. Auf Teilintervalle,
die keinen Endpunkt des Integrationsintervalls enthalten, kommt ein
Gauß-Kronrod-Formelpaar und auf Randintervallen kommen modifizierte
Clenshaw-Curtis-Formeln zur Anwendung.
Die Gewichtsfunktion wird mit dem Schlüsselwort wfun ausgewählt:
1w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta
2w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a)
3w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(b - x)
4w(x) = (x - a)^alpha (b - x)^beta log(x - a) log(b - x)
Der Integrand kann eine Maxima-Funktion, eine Lisp-Funktion, ein Operator, ein Maxima-Lambda-Ausdruck oder ein allgemeiner Maxima-Ausdruck sein.
Die Schlüsselwortargumente sind optional und können in beliebiger
Reihenfolge angegeben werden. Sie haben die Form key=val.
Die Schlüsselwortargumente sind:
Gewünschter relativer Fehler der Näherung. Der Standardwert ist
1.0e-8
Gewünschter absoluter Fehler der Näherung. Der Standardwert ist 0.
Maximale Anzahl der Teilintervalle des adaptiven Algorithmus. Der Standardwert
ist 200.
quad_qaws gibt eine Liste mit vier Elementen zurück:
Der Fehlercode kann die folgenden Werte annehmen:
0,
wenn kein Fehler aufgetreten ist,
1,
wenn zu viele Teilintervalle notwendig wurden,
2,
wenn übemäßiger Rundungsfehler aufgetreten sind,
3,
wenn ein extrem schlechtes Verhalten des Integranden vorliegt,
6,
wenn die Eingabe ungültig ist.
Beispiele:
(%i1) quad_qaws (1/(x+1+2^(-4)), x, -1, 1, -0.5, -0.5, 1,
'epsabs=1d-9);
(%o1) [8.750097361672832, 1.24321522715422E-10, 170, 0]
(%i2) integrate ((1-x*x)^(-1/2)/(x+1+2^(-alpha)), x, -1, 1);
alpha
Is 4 2 - 1 positive, negative, or zero?
pos;
alpha alpha
2 %pi 2 sqrt(2 2 + 1)
(%o2) -------------------------------
alpha
4 2 + 2
(%i3) ev (%, alpha=4, numer);
(%o3) 8.750097361672829
Integration of a general function over a finite interval.
quad_qagp implements globally adaptive interval subdivision with
extrapolation (de Doncker, 1978) by the Epsilon algorithm (Wynn, 1956).
quad_qagp computes the integral
integrate (f(x), x, a, b)
The function to be integrated is f(x), with dependent variable x, and the function is to be integrated between the limits a and b.
The integrand may be specified as the name of a Maxima or Lisp function or operator, a Maxima lambda expression, or a general Maxima expression.
To help the integrator, the user must supply a list of points where the integrand is singular or discontinous.
The keyword arguments are optional and may be specified in any order.
They all take the form key=val. The keyword arguments are:
Desired relative error of approximation. Default is 1d-8.
Desired absolute error of approximation. Default is 0.
Size of internal work array. limit is the maximum number of subintervals to use. Default is 200.
quad_qagp returns a list of four elements:
The error code (fourth element of the return value) can have the values:
0no problems were encountered;
1too many sub-intervals were done;
2excessive roundoff error is detected;
3extremely bad integrand behavior occurs;
4failed to converge
5integral is probably divergent or slowly convergent
6if the input is invalid.
Examples:
(%i1) quad_qagp(x^3*log(abs((x^2-1)*(x^2-2))),x,0,3,[1,sqrt(2)]); (%o1) [52.74074838347143, 2.6247632689546663e-7, 1029, 0] (%i2) quad_qags(x^3*log(abs((x^2-1)*(x^2-2))), x, 0, 3); (%o2) [52.74074847951494, 4.088443219529836e-7, 1869, 0]
The integrand has singularities at 1 and sqrt(2) so we supply these
points to quad_qagp. We also note that quad_qagp is
more accurate and more efficient that quad_qags.
Control error handling for quadpack. The parameter should be one of the following symbols:
current_errorThe current error number
controlControls if messages are printed or not. If it is set to zero or less, messages are suppressed.
max_messageThe maximum number of times any message is to be printed.
If value is not given, then the current value of the parameter is returned. If value is given, the value of parameter is set to the given value.
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| 16.4.1 Einführung in Differentialgleichungen | ||
| 16.4.2 Funktionen und Variablen für Differentialgleichungen |
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Dieses Kapitel beschreibt die Funktionen, die in Maxima verfügbar sind, um analytische Lösungen für verschiedene Typen von Differentialgleichungen der 1. und 2. Ordnung zu erhalten. Eine numerische Lösung kann mit den Funktionen in dynamics berechnet werden. Für die graphische Darstellung von Differentialgleichungen siehe das Paket in plotdf.
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Löst das Randwertproblem einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Das
Argument solution ist eine allgemeine Lösung, wie sie von der Funktion
ode2
zurückgegeben wird. xval1 gibt den Wert der unabhängigen
Variablen im ersten Randpunkt an. Der Randwert wird als ein Ausdruck
x = x1 angegeben. Das Argument yval1 gibt den Wert
der abhängigen Variablen in diesem Punkt an. Der Randwert wird als
y = y1 angegeben. Mit den Argumenten xval2 und
yval2 werden die entsprechenden Werte an einem zweiten Randpunkt
angegeben.
Siehe die Funktion ode2
für Beispiele.
Die Funktion desolve löst lineare Systeme gewöhnlicher
Differentialgleichungen mit Hilfe der Methode der Laplacetransformation. Die
Argumente eqn_i sind die Differentialgleichungen mit den abhängigen
Variablen x_1, …, x_n. Die funktionale Abhängigkeit der
Variablen x_1, …, x_n zum Beispiel von einer Variablen x
muss explizit für die Variablen und ihrer Ableitungen angegeben werden. Zum
Beispiel ist sind die folgenden zwei Gleichungen keine korrekte Definition:
eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x); eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);
Eine korrekte Definition der zwei Gleichungen ist
eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x); eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);
Die Funktion desolve wird dann folgendermaßen aufgerufen
desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);
Sind Anfangswerte für x=0 bekannt, können diese mit der Funktion
atvalue
vor dem Aufruf der Funktion desolve angegeben werden.
(%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
d d
(%o1) -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
dx dx
(%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
2
d d
(%o2) --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
2 dx
dx
(%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
(%o3) a
(%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
(%o4) 1
(%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
x
(%o5) [f(x) = a %e - a + 1, g(x) =
x
cos(x) + a %e - a + g(0) - 1]
(%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
x x x x
(%o6) [a %e = a %e , a %e - cos(x) = a %e - cos(x)]
Kann desolve keine Lösung finden, ist die Rückgabe false.
Löst das Anfangswertproblem für eine Differentialgleichung 1. Ordnung.
Das Argument solution ist eine allgemeine Lösung der
Differentialgleichung, wie sie von der Funktion ode2 zurückgegeben
wird. Mit dem Argument xval wird der Anfangswert der unabhängigen
Variablen in der Form x = x0 angegeben. Mit dem Argument
yval wird der Anfangswert der unabhängigen Variablen in der Form
y = y0 angegeben.
Siehe die Funktion ode2
für ein Beispiel.
Löst das Anfangswertproblem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung.
Das Argument solution ist eine allgemeine Lösung der
Differentialgleichung, wie sie von der Funktion ode2 zurückgegeben
wird. Mit dem Argument xval wird der Anfangswert der unabhängigen
Variablen in der Form x = x0 angegeben. Mit dem Argument
yval wird der Anfangswert der abhängigen Variablen in der Form
y = y0 angegeben. Mit dem Argument dval wird der
Anfangswert der ersten Ableitung der abhängigen Variablen nach der
unabhängigen Variablen in der Form diff(y,x) = dy0
angegeben. Dem Symbol diff muss kein Quote-Operator
'
vorangestellt werden.
Siehe auch ode2
für ein Beispiel.
Die Funktion ode2 löst eine gewöhnliche Differentialgleichung der
ersten oder zweiten Ordnung. Die Funktion hat drei Argumente: die
Differentialgleichung eqn, die abhängige Variable dvar und die
unabhängige Variable ivar. Ist die Funktion ode2 erfolgreich
wird eine explizite oder implizite Lösung für die abhängige Variable
zurückgegeben. Im Fall einer Differentialgleichung 1. Ordnung wird die
Integrationskonstante mit %c bezeichnet. Für eine
Differentialgleichung 2. Ordnung werden die Integrationskonstanten mit
%k1 und %k2 bezeichnet. Die Abhängigkeit der abhängigen
Variable von der unabhängigen Variablen muss nicht explizit, wie im Fall von
desolve
angegeben werden.
Kann ode2 keine Lösung finden, ist die Rückgabe false.
Gegebenenfalls wird eine Fehlermeldung ausgegeben. Folgende Methoden werden
für das Lösen einer Differentialgleichung 1. Ordnung nacheinander
angewendet: linear, separierbar, exakt - wenn notwendig unter Zuhilfenahme
eines Integrationsfaktors, homogen, bernoullische Differentialgleichung und
eine Methode für verallgemeinerte homogene Gleichungen. Für eine
Differentialgleichung 2. Ordnung kommen die folgenden Methoden zur Anwendung:
konstante Koeffizienten, exakt, linear homogen mit nicht-konstanten
Koeffizienten, die zu konstanten Koeffizienten transformiert werden können,
eulersche Differentialgleichung, Variation der Parameter, Reduktion auf eine
Differentialgleichung 1. Ordnung, wenn die Differentialgleichung entweder
frei von der unabhängigen oder der abhängigen Variablen ist.
Im Laufe des Lösungsverfahrens werden zur Information des Nutzers globale
Variablen gesetzt: method bezeichnet die Methode, die von ode2
zum Auffinden der Lösung verwendet wurde. intfactor bezeichnet einen
verwendeten Integrationsfaktor. odeindex bezeichnet den Index der
bernoullischen Gleichung oder der verallgemeinerte Methode für eine homogene
Differentialgleichung. yp bezeichnet eine partikuläre Lösung, wenn
die Variation der Parameter angewendet wird.
Für das Lösen von Anfangswertproblemen einer Differentialgleichung 1. oder
2. Ordnung können die Funktionen ic1
und ic2
verwendet werden.
Ein Randwertproblem für eine Differentialgleichung 2. Ordnung kann mit der
Funktion bc2
gelöst werden.
Beispiele:
(%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
2 dy sin(x)
(%o1) x -- + 3 x y = ------
dx x
(%i2) ode2(%,y,x);
%c - cos(x)
(%o2) y = -----------
3
x
(%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
cos(x) + 1
(%o3) y = - ----------
3
x
(%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
2
d y dy 3
(%o4) --- + y (--) = 0
2 dx
dx
(%i5) ode2(%,y,x);
3
y + 6 %k1 y
(%o5) ------------ = x + %k2
6
(%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
3
2 y - 3 y
(%o6) - ---------- = x
6
(%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
3
y - 10 y 3
(%o7) --------- = x - -
6 2
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